수학 영역(가형)

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수학 영역(가형)

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2019학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가 형)

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수학 영역(가 형)

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1

4

수학 영역(가 형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: {}_{6`} rm P _{2}]의 값은? [2점]

12

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 25]	④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 35]

2. [eqn: cos` theta = {2} over {3} `]일 때, [eqn: sec` theta `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 2]

3. [eqn: lim _{x` -> `0} {} {e ^{5x} -1} over {3x} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {4} over {3}]	② [eqn: {5} over {3}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {7} over {3}]	⑤ [eqn: {8} over {3}]

4. 함수 [eqn: f(x)= {x} over {2} +sin`x`]에 대하여 [eqn: lim _{x` -> ` pi } {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( pi RIGHT )} over {x- pi }} `]의 값은?

[3점]

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - {3} over {2}]	④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

5. 함수 [eqn: y=ln LEFT ( x-a RIGHT ) +b`]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( 2,``5 RIGHT ) `]를 지나고,
직선 [eqn: x=1`]을 점근선으로 갖는다. [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

6. [eqn: int _{0} ^{sqrt {3}} {2x sqrt {x ^{2} +1}} dx]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: {13} over {3}]	③ [eqn: {14} over {3}]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: {16} over {3}]

7. 함수 [eqn: f(x)=ln` LEFT ( ax+b RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: lim _{x` -> `0} {` {f LEFT ( x RIGHT )} over {x}} =2`]일 때,
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: ln`3]	② [eqn: 2`ln`2]	③ [eqn: ln`5]	④ [eqn: ln`6]	⑤ [eqn: ln`7]

8. 좌표평면에서 곡선 [eqn: y= {1} over {x-1} `] 위의 점 [eqn: LEFT ( {3} over {2} ,``2 RIGHT ) `]에서의 접선과 [eqn: x`]축 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: {17} over {2}]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: {19} over {2}]	⑤ [eqn: 10]

9. 그림과 같이 원형 탁자에 [eqn: 5`]개의 의자가 일정한 간격으로 놓여 있다. [eqn: 1`]학년 학생 [eqn: 2`]명, [eqn: 2`]학년 학생 [eqn: 2`]명, [eqn: 3`]학년 학생 [eqn: 1`]명이  모두 이 [eqn: 5`]개의 의자에 앉으려고 할 때, [eqn: 1`]학년 학생 [eqn: 2`]명이 서로 이웃하도록 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

10. 부등식
[eqn: log _{2} LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) +log _{2} `3 LEQ 5`]
를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

11. 함수 [eqn: f(x)=tan` LEFT ( pi`x ^{2} +ax RIGHT ) `]가 [eqn: x= {1} over {2} `]에서 극솟값 [eqn: k`]를 가질 때, [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: - sqrt {3}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

12. 함수 [eqn: f(x)=sin`(3x)`]에 대하여 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` sum _{k=1} ^{n} {pi } over {n} f` LEFT ( {k` pi } over {n} RIGHT )} `]의 값은?

[3점]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {4} over {3}]	④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: 2]

13. [eqn: 0 LEQ x LEQ pi`]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)= {cases{````2cos`x`tan`x+a _{`}^{`}&~ LEFT ( x != {pi } over {2} RIGHT )#~~~~~```3a&~ LEFT ( x= {pi } over {2} RIGHT ) ^{` ^{`}}}}]

가 [eqn: x= {pi } over {2} `]에서 연속일 때, 함수 [eqn: f(x)`]의 최댓값과 최솟값의 합은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

14. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -5x ^{2} +9x-5`]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때,
곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,``g LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT ) `]에서의 접선의 기울기는? [4점]

① [eqn: {1} over {18}]	② [eqn: {1} over {12}]	③ [eqn: {1} over {9}]	④ [eqn: {5} over {36}]	⑤ [eqn: {1} over {6}]

15. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]가 있다. 선분 [eqn: rmAD] 위의 점 [eqn: \E`]와 정사각형 [eqn: rm ABCD]의 내부에 있는 점 [eqn: \F`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 두 삼각형 [eqn: \ABE`]와 [eqn: \FBE`]는 서로 합동이다.

(나) 사각형 [eqn: \ABFE`]의 넓이는 [eqn: 1over3`]이다.

[eqn: tan LEFT ( ANGLE rm ABF RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: {5} over {12}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {7} over {12}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

16. 전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5 RIGHT } `]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B`]가

[eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) =1], [eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT ) =3]

을 만족시킨다. 집합 [eqn: A], [eqn: B`]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( A,``B` RIGHT ) `]의 개수는?

[4점]

① [eqn: 80]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 100]	④ [eqn: 110]	⑤ [eqn: 120]

17. 두 함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} `]([eqn: a>0]), [eqn: g(x)=ln`x`]의 그래프가
한 점 [eqn: rm P`]에서 만나고, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선의 기울기와 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: rm P`]에서의 접선의 기울기가 서로 같다. 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)`]와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: {2 sqrt {e} -3} over {6}]	② [eqn: {2 sqrt {e} -3} over {3}]	③ [eqn: {sqrt {e} -1} over {2}]

④ [eqn: {4 sqrt {e} -3} over {6}]	⑤ [eqn: sqrt {e} -1]

18. 네 개의 비어 있는 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D`]가 있다. 각각의 상자에 최대 [eqn: 5`]개의 공을 넣을 수 있을 때, 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D`]에 [eqn: n`][eqn: (1len le 20)`]개의 공을 남김없이 나누어 넣는 경우의 수를 [eqn: f(n)`]이라 하자. 다음은 [eqn: f(15)+f(14)+f(13)`]의 값을 구하는 과정이다. (단, 공은 구별하지 않고, 공을 하나도 넣지 않은 상자가 있을 수 있다.)

네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에 [eqn: n`]개의 공을 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는 공이 [eqn: 5`]개씩 모두 [eqn: 20`]개가 들어 있는 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에서 총 [eqn: 20-n`]개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같다.

(ⅰ) [eqn: n=15`]인 경우
공이 [eqn: 5`]개씩 모두 [eqn: 20`]개가 들어 있는 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]에서 총 [eqn: 5`]개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같으므로
[eqn: f(15)= {BOX{~``(가) ^{`} ~``}} `]

(ⅱ) [eqn: n=14`]인 경우
공이 [eqn: 5`]개씩 모두 [eqn: 20`]개가 들어 있는 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D`]에서 총 [eqn: 6`]개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같으므로
[eqn: f(14)= _{4} rm H _{6} -` {BOX{~``(나) ^{`} ~``}} `]

(ⅲ) [eqn: n=13`]인 경우
공이 [eqn: 5`]개씩 모두 [eqn: 20`]개가 들어 있는 네 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D`]에서 총 [eqn: 7`]개의 공을 꺼내는 경우의 수와 같으므로
[eqn: f (13)= box{~``(다)^{`}~``}`]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해

[eqn: f(15)+f(14)+f(13)`][eqn: = {BOX{~``(가) ^{`} ~``}} `+ LEFT ( ` _{4} rm H _{6} -` {BOX{~``(나) ^{`} ~``}} ` RIGHT ) `+` {BOX{~``(다) ^{`} ~``}} `]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`]라 할 때, [eqn: p+q+r`]의 값은? [4점]

① [eqn: 164]	② [eqn: 168]	③ [eqn: 172]	④ [eqn: 176]	⑤ [eqn: 180]

19. 그림과 같이 중심이 [eqn: rm O`]이고 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm P`]에서 선분 [eqn: rm AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하고, 점 [eqn: rm H`]를 지나고 선분 [eqn: rm OP`]에 수직인 직선이 선분 [eqn: rm OP], 호 [eqn: rm AB`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm I], [eqn: rm Q`]라 하자.
점 [eqn: rm Q`]를 지나고 직선 [eqn: rm OP`]에 평행한 직선이 호 [eqn: rmAB`]와
만나는 점 중 [eqn: rm Q`]가 아닌 점을 [eqn: rm R`]라 하자. [eqn: ANGLE rm POB= theta `]일 때,
두 삼각형 [eqn: rm RIP], [eqn: rm IHP`]의 넓이를 각각 [eqn: S`( theta )], [eqn: T`( theta )`]라 하자. [eqn: lim _{theta `` -> `0+} { S`( theta )-T`( theta ) } over {theta ^{3}} `}]의 값은? (단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2}]) [4점]

① [eqn: {sqrt {2} -1} over {4}]	② [eqn: {sqrt {2} -1} over {2}]	③ [eqn: sqrt {2} -`1]

④ [eqn: {2 sqrt {2} -1} over {4}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {2} -1} over {2}]

20. 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b`][eqn: LEFT ( `0<b< {pi } over {2} ` RIGHT ) `]에 대하여
함수 [eqn: g`(x)=sin` LEFT ( f` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g` prime LEFT ( -x RIGHT ) `= it -g` prime LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

(나) 점 [eqn: LEFT ( k,``g(k) RIGHT ) `]는 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 변곡점이고,
[eqn: 2k`g`(k)`= sqrt {3} g` prime LEFT ( k RIGHT ) `]이다.

두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [4점]

① [eqn: {pi } over {3} - {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: {pi } over {3} - {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {pi } over {3} - {sqrt {3}} over {6}]

④ [eqn: {pi } over {2} - {sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {pi } over {2} - {sqrt {3}} over {6}]

21. 함수 [eqn: f(x)`]의 도함수가 [eqn: f` prime (x)=xe ^{-x ^{2}} `]이다. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

(가) [eqn: g(x)= int _{1} ^{x} {f`'(t)(x+1-t)dt}]

(나) [eqn: f(x)=g `prime (x)-f` prime (x)]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: g` prime (1)= {1} over {e}] ㄴ. [eqn: f(1)=g(1)] ㄷ. 어떤 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(x)<f(x)`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22. 함수 [eqn: f(x)=e ^{3x-3} +1`]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[3점]

23. 다항식 [eqn: LEFT ( 2x+ {1} over {2} RIGHT ) ^{6} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{4} `]의 계수를 구하시오. [3점]

24. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 도함수가 [eqn: f` prime (x)= {1} over {x} `]이고 [eqn: f(1)=10`]일 때, [eqn: f LEFT ( e ^{3} RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 2,``3 RIGHT ] `]에서 함수 [eqn: f(x)= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{`2x-a} `]의 최댓값은 [eqn: 27], 최솟값은 [eqn: m`]이다. [eqn: a TIMES m`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

[3점]

26. [eqn: 0 LEQ x LEQ pi `]일 때, [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여
두 곡선 [eqn: y=sin`x`]와 [eqn: y=sin` LEFT ( n`x RIGHT ) `]의 교점의 개수를 [eqn: a _{`n} `]이라 하자. [eqn: a _{`3} +a _{`5} `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 그림과 같이 직선 [eqn: y=2`]가 두 곡선 [eqn: y=log _{2} `4x], [eqn: y=log _{2} `x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]라 하고, 직선 [eqn: y=k`][eqn: ` LEFT ( k>2 RIGHT ) `]가
두 곡선 [eqn: y=log _{2} `4x], [eqn: y=log _{2} `x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rm D`]라 하자. 점 [eqn: rm B`]를 지나고 [eqn: y`]축과 평행한 직선이 직선 [eqn: rm CD`]와 만나는 점을 [eqn: rm E`]라 하면 점 [eqn: rm E`]는 선분 [eqn: rm CD`]를 [eqn: 1:2`]로 내분한다. 사각형 [eqn: rm ABDC`]의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: 12S`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=2 sqrt {2x} +1], [eqn: y= sqrt {2x} `]와 [eqn: y`]축 및
직선 [eqn: x=2`]로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피를 [eqn: V`]라 하자. [eqn: 30V`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 주머니 속에 네 개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`]이 각각 하나씩 적혀 있는 공 [eqn: 4`]개가 들어 있다. 이 주머니에서 [eqn: 1`]개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이 과정을 [eqn: 3`]번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]라 하자. [eqn: {bc} over {a} `]가 정수가 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b,``c RIGHT ) `]의 개수를 구하시오. [4점]

[eqn: 1]

[eqn: 0]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

30. 다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 모든 사차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: f(0)`]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (단, [eqn: lim _{x` -> ` INF } {} {x} over {e ^{x}} =0]) [4점]

(가) [eqn: f(1)=0], [eqn: f`'(1)=0]

(나) 방정식 [eqn: f(x)=0`]의 모든 실근은 [eqn: 10] 이하의 자연수이다.

(다) 함수 [eqn: g(x)= {3x} over {e ^{x-1}} +k`]에 대하여 함수 [eqn: LEFT | (f CIRC g)(x) RIGHT | `]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 4`]이다.

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.