[eqn: 3 ^{{3} over {2}} TIMES sqrt {3}]의 값은? [2점]

2019학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

수학 영역(나형)

수학 영역(나형)

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

12

두 집합 [eqn: A= LEFT { `1,``3,``5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `2,``3,``4 RIGHT }]에 대하여
집합 [eqn: A-B`]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{2} =3], [eqn: a _{4} =9]일 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차는? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: y= sqrt {2x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동하면
함수 [eqn: y= sqrt {2x-4}]의 그래프와 일치한다. 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: log _{`2} `3+log _{`2} ` {8} over {3}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a+ LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n}} over {5+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}}} =3]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) + lim _{x` -> `2+} {f LEFT ( x RIGHT )}]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )} =3]을 만족시킬 때,
[eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )}]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

실수 [eqn: a]에 대한 조건

‘어떤 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +ax != x ^{2} +1]이다.’

의 부정이 참인 명제가 되도록 하는 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} +1 _{{}_{`}}&`````(a _{n} 이``짝수인`경우) _{{}_{`}} `#`3a _{n} -1 ^{{}^{`}}&`````(a _{n} 이`홀수인`경우) ^{{}^{`}}}}]

를 만족시킨다. [eqn: a _{4}]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

같은 종류의 상자 [eqn: 3]개에 같은 종류의 야구공 [eqn: 8]개를 남김없이
나누어 담을 때, 빈 상자가 없도록 담는 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 7- {a _{n}} over {2 ^{n}} RIGHT ) =19]일 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {2 ^{n+1}}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

집합 [eqn: X= LEFT { `2,``4,``6 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 일대일대응인
두 함수 [eqn: f], [eqn: g]가 있다. 그림은 함수 [eqn: f:X` -> X`]를 나타낸 것이다.

[eqn: X]

[eqn: X]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 6]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 6]

[eqn: f]

집합 [eqn: X`]의 모든 원소 [eqn: k]에 대하여 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) != g LEFT ( k RIGHT )]이고
[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =6]일 때, [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 6 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

공차가 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을
[eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: S _{9} = LEFT | S _{3} RIGHT | =27]일 때, [eqn: a _{10}]의 값은? [4점]

① [eqn: 23]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 25]	④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 27]

전체집합 [eqn: U= LEFT { `1,``3,``5,``7,``9 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B`]가

[eqn: A ^{C} SUBSET B`],   [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) =2]

를 만족시킨다. 집합 [eqn: LEFT ( A CUP B` RIGHT ) - LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )]의 모든 원소의 합의
최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? [4점]

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]	④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2 ^{a} =3], [eqn: 6 ^{b} =5]일 때, [eqn: 2 ^{ab+a+b}]의 값은?
[4점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x=n]이 두 곡선
[eqn: y= sqrt {5x+4}], [eqn: y= sqrt {2x-1}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A _{it n rm}], [eqn: rm B _{it n rm}]이라
하자. 선분 [eqn: rm OA _{it n rm}]의 길이를 [eqn: a _{n}], 선분 [eqn: rm OB _{it n rm}]의 길이를 [eqn: b _{n}]이라 할 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{12} over {a _{n} -b _{n}}}]의 값은? (단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [4점]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: x=n]

[eqn: y= sqrt {5x+4}]

[eqn: y= sqrt {2x-1}]

[eqn: rmA _{itn}]

[eqn: rm B _{it n rm}]

[eqn: rm - {4} over {5}]

[eqn: rm {1} over {2}]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: {bar{rm B _{1} C _{1} it}} =8]이고 [eqn: ANGLE rm B _{1} A _{1} C _{1} =120 DEG]인 이등변삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}]이
있다. 그림과 같이 중심이 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1}] 위에 있고 직선 [eqn: rm A _{1} B _{1}]과
직선 [eqn: rm A _{1} C _{1}]에 동시에 접하는 원 [eqn: O _{1}]을 그리고 이등변삼각형
[eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}]의 내부와 원 [eqn: O _{1}]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{1}]에서 원 [eqn: O _{1}]과 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1}]이 만나는 점을 각각
[eqn: rm B _{2}], [eqn: rm C _{2}]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1}] 내부의 점 [eqn: rm A _{2}]를 삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2}]
가 [eqn: ANGLE rm B _{2} A _{2} C _{2} =120 DEG]인 이등변삼각형이 되도록 잡는다. 중심이
선분 [eqn: rm B _{2} C _{2}] 위에 있고 직선 [eqn: rm A _{2} B _{2}]와 직선 [eqn: rm A _{2} C _{2}]에 동시에 접하는
원 [eqn: O _{2}]를 그리고 이등변삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2}]의 내부와 원 [eqn: O _{2}]의 외부의
공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는
부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}}]의 값은? [4점]

[eqn: rmA _{1}]

[eqn: rmA _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: O _{1}]

[eqn: O _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: R _{1}]

[eqn: R _{2}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: O _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: VDOTS]

① [eqn: {32} over {3} sqrt {3} - {8} over {3} pi]	② [eqn: {32} over {3} sqrt {3} - {4} over {3} pi]	③ [eqn: {64} over {9} sqrt {3} - {8} over {3} pi]	④ [eqn: {64} over {9} sqrt {3} - {5} over {3} pi]	⑤ [eqn: {64} over {9} sqrt {3} - {4} over {3} pi]

좌표평면에서 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x+1} -5], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {x+1}]의
그래프에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점]

		보 기
ㄱ. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는 직선 [eqn: y=it-5]와 만나지 않는다. ㄴ. [eqn: 0 LEQ x LEQ 8]일 때, 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )] 위에 있는 점 중에서 [eqn: y]좌표가 정수인 점의 개수는 [eqn: 3]이다. ㄷ. 두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]와 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: x=8]로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는 [eqn: 61]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 [eqn: 40] 이하의 서로 다른 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 최대공약수가
[eqn: 3]인 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: (`a,``b)]의 개수를 구하는 과정이다.

[eqn: 40] 이하의 서로 다른 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 최대공약수가 [eqn: 3]이므로
서로소인 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: a=3m], [eqn: b=3n]이라 하면
[eqn: m]과 [eqn: n]은 [eqn: 13] 이하의 자연수이다.

순서쌍 [eqn: (`a,``b)]를 선택하는 경우는
‘(ⅰ) 서로 다른 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]을 선택하는 경우’에서
‘(ⅱ) 서로 다른 두 자연수 [eqn: m]과 [eqn: n]이 서로소가 아닌 경우’를
제외하면 된다.

(ⅰ)의 경우 :
[eqn: 13]개의 자연수에서 서로 다른 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]을 선택하는
경우의 수는 [eqn: ` LEFT . {BOX{``````(가) _{`}^{`} `````}} RIGHT .]이다.

(ⅱ)의 경우 :
[eqn: m]과 [eqn: n]이 [eqn: 2]의 배수인 경우의 수는 [eqn: {}_{6} it rm P it rm _{2}]이고,
[eqn: m]과 [eqn: n]이 [eqn: 3]의 배수인 경우의 수는 [eqn: {}_{4} rm P it rm _{2}]이고,
[eqn: m]과 [eqn: n]이 [eqn: 5]의 배수인 경우의 수는 [eqn: {}_{2} rm P it rm _{2}]이다.
이 때, [eqn: m]과 [eqn: n]이 [eqn: ` LEFT . {BOX{``````(나) _{`}^{`} `````}} RIGHT .]의 배수인 경우가 중복되므로
서로 다른 두 자연수 [eqn: m]과 [eqn: n]이 서로소가 아닌 경우의 수는
[eqn: ` LEFT . {BOX{``````(다) _{`}^{`} `````}} RIGHT .]이다.

따라서 [eqn: 40] 이하의 서로 다른 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 최대공약수가
[eqn: 3]인 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: (`a,``b)]의 개수는 [eqn: ` LEFT . {BOX{``````(가) _{`}^{`} `````}} RIGHT . `- LEFT . {BOX{``````(다) _{`}^{`} `````}} RIGHT .]
이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때,
[eqn: p+q+r]의 값은? [4점]

① [eqn: 192]	② [eqn: 196]	③ [eqn: 200]	④ [eqn: 204]	⑤ [eqn: 208]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} -1} over {LEFT ( {x-1} over {k} RIGHT ) ^{2n} +1}}] ([eqn: k>0])

에 대하여 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{` LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) _{{}_{` _{{}_{`}}}} ``````` LEFT ( x=k RIGHT ) _{{}_{`}}&`#` LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2 ^{{}^{`}}} ````````````````` LEFT ( x` != k RIGHT ) ^{{}^{`}}&`}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속이다. 상수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( k RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

단 답 형

공비가 [eqn: 5]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: {a _{5}} over {a _{3}}]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a _{3} != 0]) [3점]

실수 [eqn: x]에 대하여 두 조건 [eqn: p], [eqn: q]가

[eqn: p:`-5 LEQ x LEQ 10],

[eqn: q`:`-6 LEQ x LEQ a ^{{}^{`}}]

일 때, [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의
최솟값을 구하시오. [3점]

다항식 [eqn: LEFT ( ax+1 RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x]의 계수와 [eqn: x ^{3}]의 계수가 같을 때,
양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 20a ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =30]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( k+a _{k} RIGHT )]의 값을
구하시오. [3점]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{ax ^{2}} over {x ^{2} -1} =2}],   [eqn: lim _{x` -> `1} {{a LEFT ( x-1 RIGHT )} over {x ^{2} -1} =b}]

일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. [4점]

세 실수 [eqn: 3], [eqn: a], [eqn: b]가 이 순서대로 등비수열을 이루고
[eqn: log _{`a} `3b+log _{`3} `b=5]를 만족시킨다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: 8]개로 이루어진
도로망이 있다. 이 도로망을 따라 [eqn: rm A] 지점에서 출발하여 [eqn: rm B] 지점에
도착할 때, 가로 방향으로 이동한 길이의 합이 [eqn: 4]이고 전체 이동한
길이가 [eqn: 12]인 경우의 수를 구하시오. (단, 한 번 지나간 도로는
다시 지나지 않는다.) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm 가로```방향]

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의
모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,``b,``c RIGHT )]의 개수를 구하시오. [4점]

(가) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 모두 짝수이다.

(나) [eqn: a TIMES b TIMES c=10 ^{5}]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax+b _{{}_{`}}],

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {ax+b-2} +3 ^{{}^{`}}]

이 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의
순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )]를 좌표평면에 나타낸 영역을 [eqn: R`]라 하자.

(가) [eqn: x>0]일 때, [eqn: 1<g LEFT ( x RIGHT ) <3]

(나) 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y= {1} over {x-2} +3]의 그래프의 교점이
제[eqn: 4]사분면 위에는 있지 않다.

영역 [eqn: R`]에 속하는 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )]에 대하여 [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 최댓값을 [eqn: M`]이라
할 때, [eqn: 100M`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a!=0]) [4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.