5지선다형

고 3	수학 영역 (나형)

	수학 영역 (나형)	고 3

12

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2019학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (나형)

제 2 교시

1. [eqn: 3 TIMES 27 ^{{1} over {3}}`]의 값은? [2점]

	①	[eqn: 6`]	②	[eqn: 9`]	③	[eqn: 12`]	④	[eqn: 15]	⑤	[eqn: 18`]

2. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 3,```a+2,```5 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { b,```6,```8 RIGHT } `]에 대하여
[eqn: A smallinter B= left{ 4 right} `]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? [eqn: LEFT ( ` RIGHT .]단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 실수이다.[eqn: LEFT. ` RIGHT )] [2점]

	①	[eqn: 2`]	②	[eqn: 4]	③	[eqn: 6`]	④	[eqn: 8`]	⑤	[eqn: 10`]

3. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{5n ^{2} -n} over {2n ^{2} +1}} `]의 값은? [2점]

	①	[eqn: {1} over {2}]	②	[eqn: 1]	③	[eqn: {3} over {2}]	④	[eqn: 2]	⑤	[eqn: {5} over {2}]

4. 그림은 함수 [eqn: f`:`X`` -> `Y`]를 나타낸 것이다.

[eqn: f]

[eqn: X]

[eqn: Y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +f` ^{-1} LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 3`]	②	[eqn: 4`]	③	[eqn: 5`]	④	[eqn: 6`]	⑤	[eqn: 7]

5. [eqn: int _{0} ^{3} {LEFT ( x ^{2} -2 RIGHT ) dx} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 3]	②	[eqn: {10} over {3}]	③	[eqn: {11} over {3}]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: {13} over {3}]

6. 함수

[eqn: f(x)= {cases{`x+1```````````````````````````(`x<2`)##`x ^{2} -4x+a```````(`x GEQ 2`)}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 1`]	②	[eqn: 3]	③	[eqn: 5]	④	[eqn: 7]	⑤	[eqn: 9]

7. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: y~]

[eqn: x]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: rm {{O}}]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]

[eqn: lim _{x` -> `-2-} {f(x)} `+ lim _{x` -> `1+} {f(x)} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

8. 좌표평면에서 함수 [eqn: y= { 4} over { x-3} +a`]의 그래프가 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

9. 두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]가 서로 독립이고

[eqn: rm P LEFT ( it A` RIGHT ) = {1} over {3} `], [eqn: rm P LEFT ( it A ^{C} `` RIGHT ) =7`` rm P LEFT ( it A SMALLINTER B` RIGHT )]

일 때, [eqn: rm P LEFT ( it B` RIGHT ) `]의 값은? [eqn: left(`]단, [eqn: A^C `]는 [eqn: A`]의 여사건이다.[eqn: `right)] [3점]

	①	[eqn: {1} over {7}]	②	[eqn: {2} over {7}]	③	[eqn: {3} over {7}]	④	[eqn: {4} over {7}]	⑤	[eqn: {5} over {7}]

10. 함수 [eqn: y=root{x-1}+a`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: b`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동하면 함수 [eqn: y= rootx-4 `]의 그래프와 일치한다. [eqn: a+b `]의 값은? [eqn: LEFT ( ` RIGHT .]단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.[eqn: LEFT. ` RIGHT )]

[3점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

11. 어느 고등학교 [eqn: 3`]학년 전체 학생 [eqn: 300`]명을 대상으로 영화와 뮤지컬에 대한 관람 희망 여부를 조사한 결과는 다음과 같다.

[eqn: LEFT(`]단위: 명[eqn: `RIGHT)]

영화 뮤지컬	희망함	희망하지 않음	합계
희망함	[eqn: 90]	[eqn: 50]	[eqn: 140]
희망하지 않음	[eqn: 120]	[eqn: 40]	[eqn: 160]
합계	[eqn: 210]	[eqn: 90]	[eqn: 300]

이 고등학교 [eqn: 3`]학년 학생 중에서 임의로 선택한 [eqn: 1`]명이
영화 관람을 희망한 학생일 때, 이 학생이 뮤지컬 관람도 희망한 학생일 확률은? [3점]

	①	[eqn: {3} over {14}]	②	[eqn: {2} over {7}]	③	[eqn: {5} over {14}]	④	[eqn: {3} over {7}]	⑤	[eqn: {1} over {2}]

12. [eqn: 1`]보다 큰 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여

[eqn: log _{`a} ` {a ^{3}} over {b ^{2}} =2]

가 성립할 때, [eqn: log _{`a} `b+3`log _{`b} `a`]의 값은? [3점]

	①	[eqn: {9} over {2}]	②	[eqn: 5`]	③	[eqn: {11} over {2}]	④	[eqn: 6]	⑤	[eqn: {13} over {2}]

[eqn: z]	[eqn: rmP(it0leq Z leq z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

13. 어느 공장에서 생산하는 전기 자동차 배터리 [eqn: 1`]개의 용량은 평균이 [eqn: 64.2`], 표준편차가 [eqn: 0.4`]인 정규분포를 따른다고 한다.
이 공장에서 생산한 전기 자동차 배터리 중 임의로 [eqn: 1`]개를 선택할 때, 이 배터리의 용량이 [eqn: 65`]이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [eqn: left(`]단, 전기 자동차 배터리 용량의 단위는 [eqn: rm kWh`]이다.[eqn: `right)] [3점]

	①	[eqn: 0.0062]	②	[eqn: 0.0228]	③	[eqn: 0.0668]	④	[eqn: 0.1587]	⑤	[eqn: 0.3085]

14. 공차가 [eqn: 0`]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{9} =2a _{3} `]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{24} {LEFT ( a _{n+1} -a _{n} RIGHT ) ^{2}} over {a _{n} a _{n+1}}`]의 값은? [4점]

	①	[eqn: {3} over {14} `]	②	[eqn: {2} over {7}]	③	[eqn: {5} over {14}]	④	[eqn: {3} over {7}]	⑤	[eqn: {1} over {2}]

15. 집합 [eqn: X`]의 모든 원소의 합을 [eqn: S` LEFT ( X` RIGHT ) `]라 할 때, 실수 전체의 집합의 두 부분집합

[eqn: A= LEFT { a,```b,```c,```d,```e RIGHT }],
[eqn: B= LEFT { a+k,```b+k,```c+k,```d+k,```e+k RIGHT }]

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 상수 [eqn: k`]의 값은? [4점]

	(가) [eqn: S` LEFT ( A` RIGHT ) =37] (나) [eqn: A-B= LEFT { 2,```4,```9 RIGHT }] (다) [eqn: S` LEFT ( A CUP B` RIGHT ) =92]

	①	[eqn: 6]	②	[eqn: 7]	③	[eqn: 8]	④	[eqn: 9]	⑤	[eqn: 10]

16. 어느 수영장에 [eqn: 1`]번부터 [eqn: 8`]번까지 [eqn: 8`]개의 레인이 있다.
[eqn: 3`]명의 학생이 서로 다른 레인의 번호를 각각 [eqn: 1`]개씩 선택할 때, [eqn: 3`]명의 학생이 선택한 레인의 세 번호 중 어느 두 번호도 연속되지 않도록 선택하는 경우의 수는? [4점]

	①	[eqn: 120]	②	[eqn: 132]	③	[eqn: 144]	④	[eqn: 156]	⑤	[eqn: 168]

17. 공차가 자연수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]과 공비가 자연수인 등비수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 [eqn: a _{6} =b _{6} =9`]이고, 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: a _{7} =b _{7} `] (나) [eqn: 94<a _{11} <109]

[eqn: a _{7} +b _{8} `]의 값은? [4점]

	①	[eqn: 96]	②	[eqn: 99]	③	[eqn: 102]	④	[eqn: 105]	⑤	[eqn: 108`]

18. 앞면에 숫자 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5`]장의 카드가 상자에 들어 있다. 이 상자에서 임의로 [eqn: 3`]장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`]을 차례로 적는다. 이 [eqn: 3`]장의 카드 중 앞뒤 양쪽 면에 서로 다른 숫자가 적혀 있는 카드의 개수를 확률변수 [eqn: X`]라 하자.
예를 들어, 꺼낸 카드의 앞면에 적혀 있는 숫자가 차례로
[eqn: 4`], [eqn: 1`], [eqn: 3`]인 경우는 [eqn: X=2`]이다. 다음은 확률변수 [eqn: X`]의 평균 [eqn: rm E(it X`)`]를 구하는 과정이다. (단, 상자에서 꺼내기 전 카드의 뒷면에는 숫자가 적혀 있지 않고, 꺼낸 카드는 상자에 다시 넣지 않는다.)

상자에 들어 있는 [eqn: 5`]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 3`]장의 카드를 한 장씩 꺼내고, 꺼낸 순서대로 카드의 뒷면에 숫자 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`]을 차례로 적는 경우의 수는 [eqn: {}_{5`} rm P _{3} `=60`]이다.

확률변수 [eqn: X`]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`]이므로

(ⅰ) [eqn: X=`0`]인 사건은
[eqn: 3`]장의 카드 모두 앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로
[eqn: rm P LEFT ( it X=0 RIGHT ) `=` {1} over {60}]

(ⅱ) [eqn: X=`1`]인 사건은
앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가 [eqn: 1`]장이고, 나머지 [eqn: 2`]장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에
적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로
[eqn: rm P LEFT ( it X=1 RIGHT ) `=`]

[eqn: (가)]

(ⅲ) [eqn: X=`2`]인 사건은
앞뒤 양쪽 면에 적혀 있는 숫자가 서로 다른 카드가 [eqn: 2`]장이고, 나머지 [eqn: 1`]장의 카드는 앞뒤 양쪽 면에
적혀 있는 숫자가 서로 같은 경우이다. 그러므로
[eqn: rm P LEFT ( it X=2 RIGHT ) `=]

[eqn: (나)]

(ⅳ) [eqn: X=`3`]인 사건의 경우에는
확률질량함수의 성질에 의하여
[eqn: rm P LEFT ( it X=3 RIGHT ) `=1- LEFT ( {1} over {60} + RIGHT .]

[eqn: (가)]

[eqn: +]

[eqn: (나)]

[eqn: pile{ `#` } right)]

이다. 따라서

[eqn: rm E LEFT ( it X` RIGHT )][eqn: = sum _{k=0} ^{3} LEFT { k TIMES rm P LEFT ( it X=k RIGHT ) RIGHT }][eqn: =`]

[eqn: (다)]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]라 할 때,
[eqn: 10a+20b+5c`]의 값은? [4점]

	①	[eqn: 20]	②	[eqn: 24]	③	[eqn: 28]	④	[eqn: 32]	⑤	[eqn: 36]

19. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3`]인 정삼각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1`]이 있다. 세 선분 [eqn: rm A_1 B_1 `], [eqn: rm B_1 C_1 `], [eqn: rmC_1 A_1`]을 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmA_2 `], [eqn: rmB_2`], [eqn: rm C_2 `]라 하자. 선분 [eqn: rm B _{2} C _{1} `]을 지름으로 하는 반원의 내부와 선분 [eqn: rm B_2 C_2`]를 지름으로 하는 반원의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1`]이라 하자.
그림 [eqn: R_1 `]에서 세 선분 [eqn: rm A_2 B_2 `], [eqn: rm B_2 C_2 `], [eqn: rmC_2 A_2`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmA_3 `], [eqn: rm B _{3} `], [eqn: rm C_3 `]이라 하자. 선분 [eqn: rm B _{3} C _{2} `]를 지름으로 하는 반원의 내부와 선분 [eqn: rm B _{3} C _{3} `]을 지름으로 하는 반원의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2} `]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_n `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}} `]의 값은? [4점]

[eqn: rm A _{1}] [eqn: rm B _{1}] [eqn: rm C _{1}] [eqn: rm B _{2}] [eqn: rm A _{2}] [eqn: rm C _{2}]	[eqn: rm B _{1}] [eqn: rm C _{1}] [eqn: rm B _{2}] [eqn: rm A _{2}] [eqn: rm A _{3}] [eqn: rm C _{2}] [eqn: rm C _{3}] [eqn: rm B _{3}] [eqn: rm A _{1}]
[eqn: R_1]	[eqn: R_2]
	[eqn: cdots]
[eqn: R_3]	[eqn: cdots]

	①	[eqn: {11 pi +8 sqrt {3}} over {32}]	②	[eqn: {11 pi +9 sqrt {3}} over {32}]	③	[eqn: {3 pi +2 sqrt {3}} over {8}]
	④	[eqn: {12 pi +9 sqrt {3}} over {32}]	⑤	[eqn: {3 pi +3 sqrt {3}} over {8}]

20. 최고차항의 계수가 양수인 사차함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )=ax^4 +bx^2 +c`] ([eqn: a,~b,~c`]는 상수)가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 모든 실근이 [eqn: alpha`], [eqn: beta`], [eqn: gamma `]이다. [eqn: left(`]단, [eqn: LEFT. alpha < beta < gamma `` RIGHT ) `] (나) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =`- {3} over {4} `], [eqn: f `' LEFT ( -1 RIGHT ) =1`]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )=0`] ㄴ. [eqn: f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) =`-4`] ㄷ. 방정식 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =k(x- alpha )`]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3`]이 되도록 하는 양수 [eqn: k`]의 범위는 [eqn: {8} over {27} <k<4`]이다.

	①	ㄱ	②	ㄱ, ㄴ	③	ㄱ, ㄷ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 좌표평면 위의 점 [eqn: (0,```t)`]를 지나고 곡선

[eqn: y=x ^{3} -ax ^{2} +3x-5`] [eqn: left(`][eqn: a`]는 자연수[eqn: `right)]

에 접하는 서로 다른 모든 직선의 개수를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]라 할 때,
함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]에 대하여 합성함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자.
다음 조건을 만족시키는 [eqn: a`]의 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: m+g LEFT ( m RIGHT ) `]의 값은? [4점]

	(가) 모든 실수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) >1`]이다. (나) 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 1`]이다.

	①	[eqn: 4]	②	[eqn: 6]	③	[eqn: 8]	④	[eqn: 10]	⑤	[eqn: 12]

단답형

22. [eqn: {}_7 `rmP_2 `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -5x ^{2} +9`]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

[3점]

24. [eqn: (3x+1) ^{5} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{2} `]의 계수를 구하시오. [3점]

25. 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: RMP`]의 시각 [eqn: t`][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT ) `]에서의 위치 [eqn: x`]가

[eqn: x=t ^{3} -3t ^{2} +at`] [eqn: LEFT ( a` RIGHT .]는 상수[eqn: LEFT. ` RIGHT )]

이다. 점 [eqn: RMP`]의 시각 [eqn: t=3`]에서의 속도가 [eqn: 15`]일 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 첫째항이 [eqn: 2`]이고 모든 항이 양수인 수열 [eqn: left { a_n right} `]이 있다.
[eqn: x`]에 대한 이차방정식

[eqn: a_n `x^2 -a_n+1 ` x + a_n = 0 ``]

이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 중근을 가질 때,
[eqn: sum _{k=1} ^{8} `a _{k} `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 함수 [eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{3} `]의 그래프 위의 점 [eqn: rm P( it a,```b)`]에 대하여
곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: x`]축 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{1} `], 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 두 직선 [eqn: x=1`], [eqn: y=b`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 하자. [eqn: S _{1} =S _{2} `]일 때, [eqn: 30a`]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( ` RIGHT .]단, [eqn: a>1 right)`] [4점]

[eqn: x=1`]

[eqn: S _{1} `]

[eqn: S _{2} `]

[eqn: y`]

[eqn: rm O`]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: y=b]

[eqn: x`]

[eqn: rm P]

28. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6,```7,```8 RIGHT } `]에 대하여 일대일 대응인 함수 [eqn: f`:`X`` -> `X`]가 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 [eqn: f `]의 개수를 구하시오. [4점]

	(가) [eqn: p`]가 소수일 때, [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) LEQ p`]이다. (나) [eqn: a<b`]이고 [eqn: a`]가 [eqn: b`]의 약수이면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) <f LEFT ( b RIGHT ) `]이다.

29. 첫째항이 [eqn: 0`]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합 [eqn: S _{n} `]에 대하여 [eqn: S _{9} =S _{18} `]이다. 집합 [eqn: T _{n} `]을

[eqn: T _{n} = LEFT { S _{k} ` `right|` k=1,```2,```3,``` CDOTS ```,```n RIGHT }]

이라 하자. 집합 [eqn: T _{n} `]의 원소의 개수가 [eqn: 13`]이 되도록 하는
모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

30. [eqn: x=`-3`]과 [eqn: x=a`][eqn: LEFT ( a>`-3 RIGHT ) `]에서 극값을 갖는
삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`f LEFT ( x RIGHT )&~ LEFT ( x<`-3 RIGHT )#eqalign{# ` int _{0} ^{x} {LEFT | f` prime LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt}}&eqalign{# ~ LEFT ( x GEQ `-3 RIGHT )}}}]

이 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: g LEFT ( -3 RIGHT ) =`-16`], [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =`-8`] (나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (다) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 극솟값을 갖는다.

[eqn: LEFT | int _{a} ^{4} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx} RIGHT | `]의 값을 구하시오. [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.