수학 영역 (A형)

고 2

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수학 영역 (A형)

고 2

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2014학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시          수학 영역 (A형)

5지 선다형(1 ~ 21)

1. [eqn: 9 ^{{1} over {2}} TIMES 3 ^{-1} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {9}`]	② [eqn: {1} over {3}`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 9`]

12

2. 행렬 [eqn: B= LEFT ( {matrix{``````````1&~2``#``-1&~1``}} RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: A-B=E`]를 만족시키는 행렬 [eqn: A`]는? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [2점]

① [eqn: LEFT ( {matrix{``````````2&~2``#``-1&~2``}} RIGHT )]	② [eqn: LEFT ( {matrix{``0&~-2``#``1&~````````0``}} RIGHT )]	③ [eqn: LEFT ( {matrix{``-1&~-4``#``````````2&~-1``}} RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( {matrix{```````````3&~4``#``-2&~3``}} RIGHT )]	⑤ [eqn: LEFT ( {matrix{``2&~````````4``#``1&~-2``}} RIGHT )]

3. 이차정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (i,~j)`]성분 [eqn: a_ij ``]를

[eqn: a _{ij} =i+3j`] [eqn: (`i=1,```2`,`````j=1,```2)`]

라 하자. 행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (2,~1)] 성분은? [2점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

4. 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가

[eqn: (A+B`) ^{`2} = {pmatrix{``````````2&~~~2``#``-1&~-1``}}], [eqn: A ^{2} +B ^{`2} = {pmatrix{``0&~-2``#``1&~````````3``}}]

을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: AB+BA`]는? [3점]

① [eqn: {pmatrix{``-1&~-3``#~~``5&~-2``}}]	② [eqn: {pmatrix{``````````1&~5``#``-1&~8``}}]	③ [eqn: {pmatrix{``1&~7``#``8&~4``}}]

④ [eqn: {pmatrix{``````````2&~````````4``#``-2&~-4``}}]	⑤ [eqn: {pmatrix{``2&~-7``#``6&~-2``}}]

5. 부등식 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2x+1} LEQ LEFT ( {1} over {8} RIGHT ) ^{x-1} `]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x`]의
값의 합은? [3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

6. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``2&~-1``#``3&~-2``}} `]에 대하여 행렬 [eqn: A ^{2} +A ^{3} `]의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

7. 자연수 [eqn: n``(n GEQ 2)`]에 대하여 실수 [eqn: a`]의 [eqn: n`]제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 [eqn: f _{n} (a)`]라 할 때, [eqn: f _{2} (-3)+f _{3} (-2)+f _{4} (5)`]의 값은?
[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

8. 이차정사각행렬 [eqn: A`]에 대하여 [eqn: A {pmatrix{``1``#``0``}} = {pmatrix{``2``#``3``}} `], [eqn: A {pmatrix{``0``#``1``}} = {pmatrix{``-1``#`````````2``}} `]이다. [eqn: A {pmatrix{``1``#``2``}} = {pmatrix{``p``#``q``}}]일 때, [eqn: p+q`]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

9. 다음 [그래프 [eqn: G`]]는 [eqn: 5`]개의 꼭짓점을 갖는 그래프이다.

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: \D]

[eqn: \E]

[그래프 [eqn: G`]]

[그래프 [eqn: G`]]에 한 변을 추가하여 만든 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬이 [행렬 [eqn: M``]]이 되도록 할 때, [그래프 [eqn: G`]]에 추가해야 할 변은? [3점]

[eqn: {pmatrix{``0&~1&~1&~1&~0``#``1&~0&~1&~0&~1``#``1&~1&~0&~0&~0``#``1&~0&~0&~0&~1``#``0&~1&~0&~1&~0``}}]

[eqn: \A]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: \C]

[eqn: \D]

[eqn: \D]

[eqn: rm E]

[eqn: \E]

[행렬 [eqn: M``]]

① [eqn: rm AE]	② [eqn: rm BD]	③ [eqn: rm CD]	④ [eqn: rm CE]	⑤ [eqn: rm DE]

10. 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: BA-3A`=`E`]

(나) 행렬 [eqn: A ^{-1} `]의 모든 성분의 합은 [eqn: 15`]이다.

행렬 [eqn: B`]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]	④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

11. 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가

[eqn: A+B=E`], [eqn: LEFT ( E-A RIGHT ) LEFT ( E-B RIGHT ) =E`]

를 만족시킬 때, [eqn: A ^{6} +B ^{``6} `]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 10`]	⑤ [eqn: 12]

12. 단원자 이상기체의 단열 과정에서 단열 팽창 전 온도와 부피를 각각 [eqn: T_i] , [eqn: V_i] 라 하고 단열 팽창 후 온도와 부피를 각각 [eqn: T_f] , [eqn: V_f] 라 하자. 단열 팽창 전과 단열 팽창 후의 온도와 부피 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: T _{i} V _{i} ^{```` gamma `-1} =T _{f} V _{f} ^{``` gamma `-1}]

(단, 기체몰 열용량의 비 [eqn: gamma = 5 over3]이고, 온도의 단위는 [eqn: rmK`], 부피의 단위는 [eqn: rmm ^{3} `]이다.)

단열 팽창 전 온도가 [eqn: 480]([eqn: rmK])이고 부피가 [eqn: 5]([eqn: rmm ^{3} `])인 단원자 이상기체가 있다. 이 기체가 단열 팽창하여 기체의 온도가 [eqn: 270`]([eqn: rmK])가 되었을 때, 기체의 부피([eqn: rmm ^{3} `])는? [3점]

① [eqn: {308} over {27}]	② [eqn: {311} over {27}]	③ [eqn: {314} over {27}]	④ [eqn: {317} over {27}]	⑤ [eqn: {320} over {27}]

[13 ~ 14] 그림과 같이 두 곡선 [eqn: bold{y=2 ^{x}} `]과 [eqn: bold{y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} `}]이 만나는 점을 [eqn: bold{rm P`}]라 하고, 직선 [eqn: bold{x= {5} over {2} `}]가 두 곡선 [eqn: bold{y=2 ^{x} `}], [eqn: bold{y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3} `}]과 만나는 점을 각각 [eqn: bold{rmA`}], [eqn: bold{rm B`}]라 하자.

13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: y=2^x]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-3}]

[eqn: \P]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: x= {5} over {2}]

13. 선분 [eqn: rm AB`]의 길이는? [3점]

① [eqn: {3 sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: {5 sqrt {2}} over {2}]	④ [eqn: 3 sqrt {2}]	⑤ [eqn: {7 sqrt {2}} over {2}]

14. 점 [eqn: rmP`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: k`]라 하자. 좌표평면 위의 점 [eqn: rm Q` it (x,```y)`]에 대하여 행렬 [eqn: M= {pmatrix{``x+k&&```````y``#`y&&-x-k``}} `]가 [eqn: M` ^{```2} =E`]를 만족시킨다.

점 [eqn: rm Q`]가 나타내는 도형을 [eqn: C``]라 할 때, 도형 [eqn: C``]위의 한 점에서

원점 [eqn: rm O`]까지의 거리의 최댓값은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.)
[4점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: {5} over {2} `]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {7} over {2} `]	⑤ [eqn: 4]

15. 두 개의 그릇 [eqn: A`], [eqn: B`]에 각각 [eqn: a`]([eqn: \ml]), [eqn: b`]([eqn: \ml])의 물이 들어 있다. 그릇 [eqn: A`]에 들어 있는 물의 양의 [eqn: {1} over {2} `]을 그릇 [eqn: B`]에 부은 후, 그릇 [eqn: B`]에 들어 있는 물의 양의 [eqn: {1} over {3} `]을 그릇 [eqn: A`]에 부었더니 두 그릇 [eqn: A,```B`]에 들어 있는 물의 양이 각각 [eqn: 200`]([eqn: \ml]), [eqn: 300`]([eqn: \ml])가 되었다.

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

두 상수 [eqn: s`], [eqn: t`]에 대하여 [eqn: LEFT ( {matrix{``a``#``b``}} RIGHT ) = LEFT ( {matrix{``s&~t``#``t&~s``}} RIGHT ) LEFT ( {matrix{``200``#``300``}} RIGHT ) `]이 성립할 때, [eqn: 10s+t``]의 값은? (단, 두 그릇 [eqn: A`], [eqn: B`]에 들어 있는 물의 양의 합은 항상 일정하다.) [4점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

16. 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가

[eqn: B ^{`2} -A`=E`], [eqn: B ^{``4} =A+2E`]

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A ^{2} +A=E`] ㄴ. [eqn: AB=BA] ㄷ. [eqn: AB`]의 역행렬이 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. 다음은 [eqn: root {3``} of {2+ sqrt {5}} ``]를 [eqn: p+q sqrt {5} `]([eqn: p`], [eqn: q`]는 유리수) 꼴로 나타내는 과정이다.

[eqn: alpha =` root {3``} of {2+ sqrt {5}}], [eqn: beta = root {3``} of {2- sqrt {5}} ``]라 두면 [eqn: alpha beta = {BOX{~~~(가)~~~}}]이다.

[eqn: alpha + beta =x``]라 하면

[eqn: ( alpha + beta ) ^{3} = alpha ^{3} +3 alpha ^{2} ` beta `+3 alpha beta ^{`2} + beta ` ^{3}]을 이용하여

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +3x-4=0`]을 얻을 수 있다.

이 방정식의 실근은 [eqn: x=1`]뿐이므로 [eqn: alpha + beta =1`]이다.

따라서 [eqn: alpha + beta =1`]과 [eqn: alpha beta = {BOX{~~~(가)~~~}}]인 실수 [eqn: alpha ``], [eqn: `beta `]를 두 근으로 하는 이차방정식은 [eqn: {BOX{`~~~~~~~~~}}]이다.

이 이차방정식의 두 근 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]가 [eqn: beta <0< alpha ``]이므로

[eqn: ` root {3``} of {2+ sqrt {5}} = {BOX{~~~(나)~~~}}]이다.

위의 과정에서 (가), (나)에 들어갈 수를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`]라 할 때, [eqn: a+10b`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1+2 sqrt {5}]	② [eqn: 2+3 sqrt {5}]	③ [eqn: 3+4 sqrt {5}]

④ [eqn: 4+5 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 5+6 sqrt {5}]

18. 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `]위의 한 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]라 하자. 그림과 같이 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm C`]와 [eqn: y`]축 위의 점 [eqn: rm D]에 대하여 두 사각형 [eqn: rm PACE`]와 [eqn: rm PFDB`]가 각각 직사각형이 되도록 점 [eqn: rm E`]와 점 [eqn: rmF`]를 잡는다.

(단, 세 점 [eqn: rmP`], [eqn: rm E`], [eqn: rmF`]는 제[eqn: 1`]사분면 위의 점이다.)

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: \D]

[eqn: \E]

[eqn: \F]

[eqn: \P]

[eqn: y=2^x]

두 직사각형 [eqn: rm PACE`], [eqn: rm PFDB`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: rm {bar{BP}} `:` {bar{PE}} `=`1`:`3`]이고, [eqn: rm {bar{PF}} `=`3 sqrt {2}]이다.

(나) 직사각형 [eqn: rm PACE`]의 넓이는 직사각형 [eqn: rm PFDB`]의 넓이의 [eqn: 2`]배이다.

점 [eqn: rmE`]의 [eqn: x`]좌표는? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: 7]

19. 그림과 같이 원점 [eqn: rmO`]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmP(1,```0)`]을 지나는 원과 곡선 [eqn: y=a ^{x} ```(a>1)`]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하자. [eqn: rm ANGLE APB= {pi } over {12} `]일 때, [eqn: a`]의 값은? [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \P]

[eqn: y=a^x]

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

20. 세 양수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여 [eqn: 3 ^{`a} =5`], [eqn: 7 ^{`b} =29`], [eqn: 8 ^{`c} =27`]일 때,  [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? [4점]

① [eqn: a<c<b`]	② [eqn: b<a<c `]	③ [eqn: b<c<a `]

④ [eqn: c<a<b`]	⑤ [eqn: c<b<a`]

21. 모든 실수 [eqn: t`]에 대하여 행렬 [eqn: {pmatrix{``2+2t-bt&~``t+1``#at-a&~2``}} `]가 역행렬을 갖도록 하는 두 정수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b)`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

단답형(22 ~ 30)

22. 행렬 [eqn: A`= {pmatrix{```````````5&~1``#``-2&~1``}}]과 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: A ^{-1} ` {pmatrix{``a``#``b``}} = {pmatrix{``4``#``2``}} `]가 성립할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 1`]의 개수를 구하시오. [3점]

24. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립일차방정식

[eqn: {pmatrix{``a&~`2``#``22&~a-7``}} {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``0``#``0``}}]

이 [eqn: x=`0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 양수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

[3점]

25. 정의역이 [eqn: LEFT { `x``□``-1 LEQ x LEQ 4 RIGHT } `]인 함수 [eqn: y=5 ^{`x ^{2} -4x-2} `]의 최댓값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: 9 ^{x} -4·3 ^{x+1} +k=0`]의 두 근의 합이 [eqn: 3`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [4점]

27. 이차정사각행렬 [eqn: A= {pmatrix{``2&~0``#``1&~1``}}], [eqn: B= {1} over {2} {pmatrix{``-1&~````````0``#``````````1&~-2``}}]에 대하여

행렬 [eqn: B ^{`4} A ^{8} `]의 모든 성분의 합을 구하시오. [4점]

28. 다음 조건을 만족시키는 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``a``&b``#``c``&a``}} `]의 개수를 구하시오.
[4점]

(가) 세 수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 집합 [eqn: LEFT { -3,```-2,```-1,```0,```1,```2,```3,```4 RIGHT } `]의 서로 다른 원소이다.

(나) 행렬 [eqn: A ^{2} `]의 모든 성분은 양수이다.

29. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=2-2 ^{x-1} `]과 [eqn: y= {2 ^{x} +2 ^{-x}} over {2} `]이 만나는 두 점 [eqn: rm `P`], [eqn: rm Q`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A(ita,```0)`], [eqn: rm B( it b,```0)`]이라 하자. 곡선 [eqn: y=2-2 ^{x-1} `]위의 점 [eqn: rm `C( it t,```2-2 ^{t-1} )`]을 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= {2 ^{x} +2 ^{-x}} over {2} `]과 만나는 점을 [eqn: rm`D`]라 하자. 네 선분 [eqn: rmAC`], [eqn: rmCB`], [eqn: rmBD`], [eqn: rmDA`]로 둘러싸인 도형의 넓이의 최댓값이 [eqn: k(b-a)`]일 때, [eqn: 70(k-1) ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a<t<b`]이다.) [4점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \C]

[eqn: \D]

[eqn: \P]

[eqn: \Q]

[eqn: y= {2 ^{x} +2 ^{-x}} over {2}]

[eqn: y=2-2 ^{x-1}]

30. 지수함수 [eqn: f(x)=a ^{x} `], [eqn: g(x)=b ^{x}`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: a`], [eqn: b`]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b)`]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 [eqn: 1`]보다 큰 자연수이다.) [4점]

(가) [eqn: f(2) TIMES g(11)=2 ^{2015}]

(나) [eqn: f(2)<g(4)`]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.