수학 영역(가형)

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수학 영역(가형)

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2019학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나 형)

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수학 영역(나 형)

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1

4

수학 영역(나 형)

제 2 교시

5지선다형

12

1. [eqn: log _{`6} `2+`log _{`6}` 3`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. 첫째항이 [eqn: 7], 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열의 제[eqn: 7`]항은? [2점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]	④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

3. 두 집합 [eqn: A= "{" 2,``3,``4"}"], [eqn: B="{"3,``4,``5,``6"}"`]에 대하여 [eqn: n(A capB`)`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. 그림은 함수 [eqn: f:`X ``->`` X`]를 나타낸 것이다.

[eqn: (f CIRC f) LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

5. 수열 [eqn: left{a _{n} right}`]은 첫째항이 [eqn: 3`]이고 공비가 [eqn: 1over2 `]인 등비수열이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

6. 함수 [eqn: f(x)`]의 역함수를 [eqn: g(x) `]라 할 때, [eqn: 2g(5)=4`]이다. [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

7. [eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: left ( a ^ {2 over 3} right) `^ {1 over 2} `]의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 [eqn: a`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

8. 자연수 [eqn: x`]에 대하여 명제

‘[eqn: 5 LEQ x LEQ 9`]이면 [eqn: x le 8`]이다.’

가 거짓임을 보여 주는 [eqn: x`]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

9. 두 집합 [eqn: A="{" 1,``2,``3,``4 "}"], [eqn: B= "{" 3,``4,``5,``6 "}"`]에 대하여	[eqn: A SMALLINTER X=A], [eqn: X CUP (A CUP B)=A CUP B]

를 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

10. [eqn: log `1.44 =a]일 때, [eqn: 2`log ` 12`]를 [eqn: a`]로 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: a+1]	② [eqn: a+2]	③ [eqn: a+3]	④ [eqn: a+ 4]	⑤ [eqn: a+5]

11. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1`]인 정사각형 [eqn: 3`]개로 이루어진 도형 [eqn: R`]가 있다.

[eqn: R]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2n `]개의 도형 [eqn: R`]를 겹치지 않게 빈틈없이 붙여서 만든 직사각형의 넓이를 [eqn: a_n `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=10} ^{15} a _{n} `]의 값은?

[3점]

① [eqn: 378]	② [eqn: 396]	③ [eqn: 414]	④ [eqn: 432]	⑤ [eqn: 450]

12. [eqn: x ge -1`]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= sqrt {x+1} +1]과 [eqn: x ge 1`]에서 정의된 함수 [eqn: g(x)=(x-1) ^{`2} -1]에 대하여 [eqn: (g CIRCf CIRC f)(15)]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

13. [eqn: lim _{n -> INF } {} {LEFT ( {m} over {5} RIGHT ) ^{`n+1} +2} over {LEFT ( {m} over {5} RIGHT ) ^{`n} +1} =2`]가 되도록 하는 자연수 [eqn: m`]의 개수는?

[3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

14. 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]가 다음과 같다.

[eqn: p:`x LEQ -5] 또는 [eqn: x>3],

[eqn: q:`x= {2a+1} over {3}]

[eqn: simp`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 정수 [eqn: a`]의 최솟값과 최댓값의 합은? [4점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

15. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n LEFT ( n-4 RIGHT ) `]의 세제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하고, [eqn: n LEFT ( n-4 RIGHT ) `]의 네제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: g(n)]이라 하자. [eqn: f(n)>g(n)`]을 만족시키는 모든 [eqn: n`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

16. 첫째항이 양수이고 공비가 [eqn: -2`]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{9} "("`|`a _{k} `|+a _{k} )=66]

일 때, [eqn: a_1`]의 값은? [4점]

① [eqn: 3 over 31]	② [eqn: 5over 31]	③ [eqn: 7 over 31]	④ [eqn: 9 over 31]	⑤ [eqn: 11 over 31]

17. 자연수 [eqn: k]에 대하여 함수

[eqn: f(x)= LEFT | {k} over {2x} -2 RIGHT |] [eqn: (x>0)`]

의 그래프와 [eqn: x`]축의 교점을 [eqn: rm`A`], 곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: \P`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \Q`]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 점 [eqn: \A`]의 좌표는 [eqn: left( k over 4 ,``0 right)`]이다. ㄴ. 점 [eqn: \P`]의 [eqn: x`]좌표가 점 [eqn: \A`]의 [eqn: x`]좌표보다 클 때, 선분 [eqn: \PQ`]의 길이는 [eqn: 2`]보다 작다. ㄷ. 점 [eqn: \P`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: k`]일 때, 삼각형 [eqn: \AQP`]의 넓이가 자연수가 되도록 하는 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 16`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 원점을 지나는 직선과

곡선 [eqn: y=it- LEFT ( x-n RIGHT ) LEFT ( x-n-2 RIGHT ) `]가 제[eqn: 1`]사분면에서 접할 때,

접점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a_n], 직선의 기울기를 [eqn: b _{n} `]이라 하자.

다음은 [eqn: lim _{n`->`inf} {a _{n} `b _{n} `}]의 값을 구하는 과정이다.

원점을 지나고 기울기가 [eqn: b_n`]인 직선의 방정식은 [eqn: y= b_n x`]이다. 이 직선이 곡선 [eqn: y=it- LEFT ( x-n RIGHT ) LEFT ( x-n-2 RIGHT ) `]에 접하므로

이차방정식 [eqn: b_n x = it -(x-n) (x-n-2)`]의 근 [eqn: x= a_n]은 중근이다.

그러므로 이차방정식

[eqn: x ^{`2} + LEFT { b _{n} -2(n+1) RIGHT } x+n LEFT ( n+2 RIGHT ) =0`]

에서 이차식

[eqn: x ^{`2} + LEFT { b _{n} -2(n+1) RIGHT } x+n LEFT ( n+2 RIGHT )]

는 완전제곱식으로 나타내어진다.

그런데 [eqn: a_n >0`]이므로

[eqn: x ^{`2} + LEFT { b _{n} -2(n+1) RIGHT } x+n LEFT ( n+2 RIGHT )][eqn: = left{ x - root n(n+2) right}^2]

에서

[eqn: a _{n} = {BOX{~~^` (가)^` ~~}}], [eqn: b _{n} = {BOX{~~^` (나)^`~~}} `]

이다.

따라서 [eqn: lim _{n`->`inf} {a _{n} `b _{n} `}][eqn: = {BOX{~~^` (다)^` ~~}} `]이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) `]이라 하고, (다)에 알맞은 값을 [eqn: alpha`]라 할 때, [eqn: 2f LEFT ( alpha RIGHT ) +g LEFT ( alpha RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

19. 그림과 같이 중심이 [eqn: rm O _{1}], 반지름의 길이가 [eqn: 2`]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90°`]인 부채꼴 [eqn: rm O _{1} A _{1} B _{1} `]에서 두 선분 [eqn: rm O _{1} A _{1} `], [eqn: rm O _{1} B _{1}] 위에 두 점 [eqn: rmM _{1}], [eqn: rm O _{2} `]를 각각 [eqn: rmbar{O _{1} M _{1} }= {sqrt {2}} over {2} bar{O _{1} A _{1} }`], [eqn: rm {bar{O _{1} O _{2}}} = {sqrt {2}} over {2} {bar{O _{1} B _{1}}} `]이 되도록 정하자. 두 점 [eqn: rm M _{1}], [eqn: rmO _{2} `]와 호 [eqn: rmA _{1} B _{1}] 위의 두 점 [eqn: rmC _{1}], [eqn: rmA _{2} `]를 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: rm O _{2} M _{1} C _{1} A _{2} `]를 그리고, 직사각형 [eqn: rm O _{2} M _{1} C _{1} A _{2} `]와 삼각형 [eqn: rm O _{1} C _{1} A _{2} `]의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1} `]이라 하자.

그림 [eqn: R _{`1} `]에 중심이 [eqn: rm O _{2}], 반지름의 길이가 [eqn: rmbar{O _{2} A _{2} }`]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90°`]인 부채꼴 [eqn: rm O _{2} A _{2} B _{2} `]를 점 [eqn: rm B _{2} `]가 부채꼴 [eqn: rmO _{1} A _{1} B _{1} `]의 외부에 있도록 그리고, 두 선분 [eqn: rm O _{2} A _{2} `], [eqn: rm O _{2} B _{2}] 위에 두 점 [eqn: rm M _{2}], [eqn: rm O _{3} `]을 각각 [eqn: rm {bar{O _{2} M _{2}}} = {sqrt {2}} over {2} {bar{O _{2} A _{2}}} `], [eqn: rm {bar{O _{2} O _{3}}} = {sqrt {2}} over {2} {bar{O _{2} B _{2}}} `]가 되도록 정하자. 두 점 [eqn: rm M _{2}], [eqn: rm O _{3} `]과 호 [eqn: rm A _{2} B _{2}] 위의 두 점 [eqn: rm C _{2}], [eqn: rm A _{3} `]을 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: rm O _{3} M _{2} C _{2} A _{3} `]을 그리고, 직사각형 [eqn: rm O _{3} M _{2} C _{2} A _{3} `]과 삼각형 [eqn: rm O _{2} C _{2} A _{3} `]의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`2} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{`n} `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {S _{n}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 7 over 6]	② [eqn: 4 over 3]	③ [eqn: 3 over 2]	④ [eqn: 5 over 3]	⑤ [eqn: 11 over 6]

20. 전체집합 [eqn: U= LEFT { `x``|``x`]는 [eqn: 19] 이하의 자연수[eqn: "}"]의 부분집합 [eqn: A`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 [eqn: A`]의 모든 원소 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: 2a`notin`A`]이다.

(나) 집합 [eqn: A`]의 모든 원소의 합은 짝수이다.

집합 [eqn: A`]의 원소의 개수가 최대일 때, 모든 원소의 합의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 124]	② [eqn: 132]	③ [eqn: 140]	④ [eqn: 148]	⑤ [eqn: 156]

21. 그림과 같이 함수 [eqn: y=2rootx`]의 그래프 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]와 직선 [eqn: y= x+2] 위를 움직이는 점 [eqn: \Q`]에 대하여 선분 [eqn: \PQ`]의 중점을 [eqn: \M`]이라 하자. 점 [eqn: \M`]과 점 [eqn: \A(0,``8)] 사이의 거리의 최솟값은? [4점]

① [eqn: {13 sqrt {2}} over {4}]	② [eqn: {27 root2} over 8]	③ [eqn: {7 root2} over 2]	④ [eqn: {29root2} over 8]	⑤ [eqn: {15 root2} over 4]

단답형

22. [eqn: a=`9 ^{`11}`]일 때, [eqn: {1} over {log _{a}` 3}]의 값을 구하시오. [3점]

23. 함수 [eqn: y= {2x-7} over x-3]의 그래프의 점근선은 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: y=b`]이다. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]의 곱 [eqn: ab`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }`]에 대하여

[eqn: lim _{n `rarrow ` INF } {(a _{n} +2b _{n} )=9}],  [eqn: lim _{n `rarrow ` INF } {(2a _{n} +b _{n} )=90}]

일 때, [eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {(a _{n} +b _{n} )}`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 첫째항이 [eqn: 4`]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n+2} =a _{n+1} +a _{n} `]

을 만족시킨다. [eqn: a _{4} =34`]일 때, [eqn: a _{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: log_{`x} (-x^2 + 4x + 5)`]가 정의되기 위한 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

27. 모든 항이 실수인 등비수열 [eqn: left {a_n right}`]에 대하여

[eqn: a_3 +a_2 = 1], [eqn: a_6 - a_4 =18]

일 때, [eqn: 1 over a_1 `]의 값을 구하시오. [4점]

28. 전체집합

[eqn: U= LEFT {` x``|``x`]는 [eqn: 3`]의 배수가 아닌 [eqn: 30] 이하의 자연수[eqn: "}"]

의 부분집합 [eqn: A`]에 대하여 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =4`]이고 집합 [eqn: A`]의 모든 원소의 합은 [eqn: 100`]이다. 집합 [eqn: A`]의 모든 원소를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: x _{3}], [eqn: x _{4} `]라 할 때, [eqn: x _{4} -x _{3} +x _{2} -x _{1} `]의 최댓값을 구하시오. [4점]

29. 자연수 [eqn: m`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k`]의 값의 합을 [eqn: A LEFT ( m RIGHT ) `]이라 하자.

[eqn: 3 TIMES 2 ^{`m} `]은 첫째항이 [eqn: 3`]이고 공비가 [eqn: 2] 이상의 자연수인

등비수열의 제[eqn: k`]항이다.

예를 들어, [eqn: 3times2 ^{`2} `]은 첫째항이 [eqn: 3`]이고 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열의 제[eqn: 3`]항, 첫째항이 [eqn: 3`]이고 공비가 [eqn: 4`]인 등비수열의 제[eqn: 2`]항이 되므로 [eqn: A LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =3+2][eqn: =5`]이다. [eqn: A LEFT ( 200 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

30. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 [eqn: S _{n}]이라 하자.

(가) 정사각형은 한 변의 길이가 [eqn: 1`]이고 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수이다.

(나) 연립부등식 [eqn: {1} over {2} x ^{`2} <y<x ^{`2}], [eqn: 0<x<2n-1 `]을 만족시키는 점 [eqn: (x,``y)`] 중에는 정사각형의 내부에 있는 점이 있다.

[eqn: lim _{n `-> ` INF } {{S _{n+1}- S_{n}} over {n ^{`2}}} `]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.