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12

2019학년도 6월 고1 전국연합학력평가 문제지

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제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: LEFT ( -2+4i RIGHT ) -3i`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [2점]

① [eqn: -2-i`]	② [eqn: -2+i`]	③ [eqn: 3-i`]	④ [eqn: 3+i`]	⑤ [eqn: 2i`]

2. 두 다항식 [eqn: A=3x ^{2} +4x-2`], [eqn: B=x ^{2} +x+3`]에 대하여
[eqn: A-B`]를 간단히 하면? [2점]

① [eqn: 2x ^{2} +3x-5]	② [eqn: 2x ^{2} +3x-3]	③ [eqn: 2x ^{2} +3x-1]

④ [eqn: 2x ^{2} -3x+3]	⑤ [eqn: 2x ^{2} -3x+5]

3. [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: x ^{3} +ax-8`]이 [eqn: x-1`]로 나누어떨어지도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

4. [eqn: x`]에 대한 이차부등식 [eqn: x ^{2} +ax+6 LEQ 0`]의 해가 [eqn: 2 LEQ x LEQ 3`]일 때,
상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

5. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식

[eqn: x ^{2} +5x+a`= LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x+b RIGHT ) `]

가 성립할 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

6. 부등식 [eqn: LEFT | `x-3` RIGHT | LEQ 2`]를 만족시키는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은?
[3점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

7. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: a+6`]인 정사각형 모양의 색종이에서 한 변의 길이가 [eqn: a`]인 정사각형 모양의 색종이를 오려
내었다. 오려낸 후 남아 있는  모양의 색종이의 넓이가
[eqn: k LEFT ( a+3 RIGHT ) `]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

[eqn: a+6]

[eqn: a]

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

8. [eqn: 2016 TIMES 2019 TIMES 2022=2019 ^{3} -9a`]가 성립할 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?
[3점]

① [eqn: 2018]	② [eqn: 2019]	③ [eqn: 2020]	④ [eqn: 2021]	⑤ [eqn: 2022]

9. [eqn: x= sqrt {3} + sqrt {2} `], [eqn: y= sqrt {3} - sqrt {2} `]일 때, [eqn: x ^{2} y+xy ^{2} +x+y`]의 값은?
[3점]

① [eqn: sqrt { 3}]	② [eqn: 2sqrt { 3} `]	③ [eqn: 3sqrt { 3} `]	④ [eqn: 4sqrt { 3} `]	⑤ [eqn: 5sqrt { 3} `]

10. 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +5x+2`]의 그래프와 직선 [eqn: y= it -x+k`]가
서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 정수 [eqn: k`]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]	④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

11. [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -ax+5`]를 [eqn: x-2`]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `], 나머지는 [eqn: 5`]이다. [eqn: Q` LEFT ( a RIGHT ) `]의 값은?
(단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

12. [eqn: x-y=3`], [eqn: x ^{3} -y ^{3} =18`]일 때, [eqn: x ^{2} +y ^{2} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

13. 두 복소수 [eqn: alpha = {1-i} over {1+i} `], [eqn: beta = {1+i} over {1-i} `]에 대하여
[eqn: LEFT ( 1-2alpha RIGHT ) LEFT ( 1-2beta RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

14. 망원경에서 대물렌즈 지름의 길이를 구경이라 하고
천체로부터 오는 빛을 모으는 능력을 집광력이라 한다.
구경이 [eqn: D`](mm)인 망원경의 집광력 [eqn: F`]는 다음과 같은 관계식이 성립한다.

[eqn: F=kD ^{2}] (단, [eqn: k`]는 양의 상수이다.)

구경이 [eqn: 40`]인 망원경 [eqn: A`]의 집광력은 구경이 [eqn: x`]인 망원경 [eqn: B`]의 집광력의 [eqn: 2`]배일 때, [eqn: x`]의 값은? [4점]

① [eqn: 10 sqrt {2}]	② [eqn: 15 sqrt {2}]	③ [eqn: 20 sqrt {2}]	④ [eqn: 25 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 30 sqrt {2}]

15. [eqn: x`]에 대한 연립부등식

[eqn: {cases{``x+2>3 _{` _{` _{`}}} `#``3x<a+1`}}]

을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합이 [eqn: 9`]가 되도록 하는
자연수 [eqn: a`]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

16. 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x-1=0`]의 서로 다른 두 근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]라 하자. 다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -3x`]에 대하여 [eqn: beta `P` LEFT ( alpha RIGHT ) + alpha `P` LEFT ( beta RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

17. 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]([eqn: a<b`])와 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식

[eqn: LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+3 RIGHT ) `+k LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) +8`= LEFT ( x ^{2} -x+a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+b RIGHT )]

를 만족시키는 모든 상수 [eqn: k`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

18. 한 변의 길이가 [eqn: a`]인 정사각형 [eqn: rm ABCD`]와 한 변의 길이가 [eqn: b`]인 정사각형 [eqn: rm EFGH`]가 있다. 그림과 같이 네 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm E`], [eqn: rmB`], [eqn: rmF`]가
한 직선 위에 있고 [eqn: rm {bar{EB}} =1`], [eqn: rm {bar{AF}} =5`]가 되도록 두 정사각형을 겹치게 놓았을 때, 선분 [eqn: rm CD`]와 선분 [eqn: rm HE`]의 교점을 [eqn: rmI`]라 하자. 직사각형 [eqn: rm EBCI`]의 넓이가 정사각형 [eqn: rm EFGH`]의 넓이의 [eqn: {1} over {4} `]일 때, [eqn: b`]의 값은? (단, [eqn: 1<a<b<5`]) [4점]

[eqn: rmH]

[eqn: rmG]

[eqn: b]

[eqn: rmD]

[eqn: rm I]

[eqn: rmC]

[eqn: a]

[eqn: rmA]

[eqn: 1]

[eqn: rmF]

[eqn: rmE]

[eqn: rm rmB]

[eqn: 5]

① [eqn: -2 +root26]	② [eqn: -2 +3root3]	③ [eqn: -2 +2root7]

④ [eqn: -2+root29]	⑤ [eqn: -2 + root30]

19. 다음은 [eqn: x`]에 대한 방정식

[eqn: LEFT ( x ^{2} +ax+a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+a RIGHT ) =0`]

의 근 중 서로 다른 허근의 개수가 [eqn: 2`]이기 위한 실수 [eqn: a`]의 값의 범위를 구하는 과정이다.

(1) [eqn: a=1`]인 경우

주어진 방정식은 [eqn: LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) ^{2} =0`]이다.
이 때, 방정식 [eqn: x ^{2} +x+1=0`]의 근은
[eqn: x= {-1± sqrt {` {BOX{~(가)~}} ` ^{`}} i} over {2} `] (단, [eqn: i= sqrt {-1} `])이므로
방정식 [eqn: LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) ^{2} =0`]의 서로 다른 허근의 개수는 [eqn: 2`]이다.

(2) [eqn: a != 1`]인 경우

방정식 [eqn: x ^{2} +ax+a=0`]의 근은 [eqn: x= {-a± sqrt {` {BOX{~(나)~}} ` ^{`}}} over {2} `]이다.

(ⅰ) [eqn: {BOX{~(나)~}} `<0`]일 때, 방정식 [eqn: x ^{2} +x+a=0`]은 실근을
가져야 하므로 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는
[eqn: 0<a LEQ {1} over {4} `]
이다.

(ⅱ) [eqn: {BOX{~(나)~}} ` GEQ 0`]일 때, 방정식 [eqn: x ^{2} +x+a=0`]은 허근을
가져야 하므로 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는
[eqn: a GEQ {BOX{~(다)~}}`]
이다.

따라서 (1)과 (2)에 의하여
방정식 [eqn: LEFT ( x ^{2} +ax+a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+a RIGHT ) =0`]의 근 중 서로 다른 허근의 개수가 [eqn: 2`]이기 위한 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는

[eqn: 0<a LEQ {1} over {4} `] 또는 [eqn: a=1`] 또는 [eqn: a GEQ {BOX{~(다)~}}`]

이다.

위의 [eqn: (가)], (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p`], [eqn: q`]라 하고,
(나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT(a RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: p+q+f LEFT ( 5 RIGHT )`]의 값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

20. 그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm O LEFT ( 0`,``0 RIGHT ) `], [eqn: rm A LEFT ( 1`,``0 RIGHT ) `], [eqn: rm B LEFT ( 1`,``2 RIGHT ) `], [eqn: rm C LEFT ( 0`,``1 RIGHT ) `]을 꼭짓점으로 하는 사각형 [eqn: rm OABC`]가 있다.
실수 [eqn: k`]([eqn: 0<k<1`])에 대하여 직선 [eqn: y=k`]가 세 선분 [eqn: rm OC`], [eqn: rm OB`], [eqn: rm AB`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm D`], [eqn: rm E`], [eqn: rm F`]라 하자.
삼각형 [eqn: rm OED`]의 넓이를 [eqn: S _{1} `], 사각형 [eqn: rm OAFE`]의 넓이를 [eqn: S _{2} `],
삼각형 [eqn: rm EFB`]의 넓이를 [eqn: S _{3} `], 사각형 [eqn: rm DEBC`]의 넓이를 [eqn: S _{4} `]라
할 때, [eqn: left(S _{1} -S _{3} right) ^{2} +left(S _{2} -S _{4} right) ^{2} `]의 최솟값은? [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: y=k]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmA]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: rmF]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {3} over {16}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {5} over {16}]	⑤ [eqn: {3} over {8}]

21. 두 이차함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a ^{2} `],

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = it - LEFT ( x-2a RIGHT ) ^{2} +4a ^{2} +b`]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) `]는 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]를 갖는다.
(나) [eqn: beta-alpha=2]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a=1`]일 때, [eqn: b=it- {5} over {2}] ㄴ. [eqn: f LEFT ( beta RIGHT ) -g LEFT ( alpha RIGHT ) LEQ g LEFT ( 2a RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT ) `] ㄷ. [eqn: g LEFT ( beta RIGHT ) =f LEFT ( alpha RIGHT ) +5a ^{2} +b`]이면 [eqn: b=it-16]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22. 다항식 [eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{3} `]을 전개한 식에서 [eqn: x^2`]의 계수를 구하시오. [3점]

23. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x+a-6=0`]이 중근을 갖도록
하는 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

24. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -kx+4=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta`]라 할 때, [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } =5`]이다. 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 연립방정식

[eqn: {cases{``x=y+5 _{` _{` _{`}}}#``x ^{2} -2y ^{2} =50`}}]

의 해를 [eqn: x=`alpha`], [eqn: y=beta`]라 할 때, [eqn: alpha+beta`]의 값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: x`]에 대한 삼차방정식

[eqn: x ^{3} -x ^{2} +kx-k=0`]

이 허근 [eqn: 3i`]와 실근 [eqn: alpha`]를 가질 때, [eqn: k+alpha`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: k`]는 실수이고, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [4점]

27. 실수 [eqn: a`]에 대하여 복소수 [eqn: z=a+2i`]가 [eqn: {bar{z}} `= {z ^{2}} over {4i} `]을 만족시킬 때, [eqn: a ^{2} `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: i= sqrt {-1}`]이고, [eqn: {bar{z}} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [4점]

28. 두 이차다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: 2P` LEFT ( x RIGHT ) +Q` LEFT ( x RIGHT ) =0`]이다.

(나) [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x ^{2} -3x+2`]로 나누어떨어진다.

[eqn: P` LEFT ( 0 RIGHT ) = it -4`]일 때, [eqn: Q` LEFT ( 4 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

29. [eqn: -2 LEQ x LEQ 5`]에서 정의된 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) `], [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) + LEFT | `f LEFT ( 4 RIGHT ) ` RIGHT | =0]

을 만족시킨다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값이 [eqn: -19`]일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

30. [eqn: x`]에 대한 이차부등식

[eqn: LEFT ( 2x-a ^{2} +2a RIGHT ) LEFT ( 2x-3a RIGHT ) LEQ 0`]

의 해가 [eqn: alpha ` LEQ `x` LEQ ` beta `]이다.
두 실수 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]가 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: beta - alpha `]는 자연수이다.

(나) [eqn: alpha ` LEQ `x` LEQ ` beta `]를 만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 3`]이다.

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.