2020학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

고 2

수학 영역

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수학 영역

고 2

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12

수학 영역

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: root {3 _{`}} of {27} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. [eqn: log _{`4} `2+log _{`4} `8`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. 반지름의 길이가 [eqn: 8`]이고 호의 길이가 [eqn: 6 pi`]인 부채꼴의 중심각의 크기는? [2점]

① [eqn: pi over 2]	② [eqn: {5} over {8} pi]	③ [eqn: {3 } over {4} pi`]	④ [eqn: {7} over {8} pi]	⑤ [eqn: pi]

4. [eqn: {pi} over {2} LEQx LEQ pi`]일 때, 방정식 [eqn: sin`x= {1} over {2} `]의 해는? [3점]

① [eqn: pi over 2 `]	② [eqn: {2 } over {3} pi `]	③ [eqn: {3 } over {4} pi`]	④ [eqn: {5 } over {6} pi `]	⑤ [eqn: pi `]

5. 다음은 상용로그표의 일부이다.

[eqn: log`32.4`]의 값을 위의 표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 0.4800]	② [eqn: 0.4955]	③ [eqn: 1.4955]

④ [eqn: 1.5105]	⑤ [eqn: 2.5105]

6. [eqn: pi< theta< {3} over {2} pi`]이고 [eqn: cos` theta= it - {4} over {5} `]일 때, [eqn: tan` theta`]의 값은? [3점]

① [eqn: - {5} over {4}]	② [eqn: - {3} over {4}]	③ [eqn: - {1} over {4}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

7. [eqn: -1 LEQx LEQ2`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2x} `]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

8. 함수 [eqn: y=log _{`2} `x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동한 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 9`,``3 RIGHT )`]을 지날 때,
상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

9. 함수 [eqn: y=2^{x} -1`]의 그래프의 점근선과 함수 [eqn: y=log _{`2} ` LEFT ( x+k RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 점이 [eqn: y`]축 위에 있을 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?                                                             [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5 over 4]

10. 세 상수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여 함수 [eqn: y=a`sin`bx+c`]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: a+b+c`]의 값은? (단, [eqn: a>0`], [eqn: b>0`]) [3점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: {pi} over {4}]

[eqn: -1]

[eqn: 3]

[eqn: y=`a`sin`bx+c]

[eqn: {5} over {4} pi]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

11. 방정식 [eqn: 8 ^{x} =18`]을 만족시키는 [eqn: x`]의 값이 [eqn: {1} over {3} +k`log _{2} 3`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: {2} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {4} over {9}]	④ [eqn: {5} over {9}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

12. 부등식 [eqn: 4^{x} -10 TIMES2^{x} +16 LEQ0`]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

13. 별의 밝기를 나타내는 방법으로 절대 등급과 광도가 있다.
임의의 두 별 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 별 [eqn: A`]의 절대 등급과 광도를 각각 [eqn: M _{`A} `], [eqn: L _{`A} `]라 하고, 별 [eqn: B`]의 절대 등급과 광도를 각각
[eqn: M _{`B} `], [eqn: L _{`B} `]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: M _{`A} -M _{`B} = it -2.5`log` LEFT ( {L _{`A}} over {L _{`B}} RIGHT ) `] (단, 광도의 단위는 [eqn: rmW]이다.)

절대 등급이 [eqn: 4.8`]인 별의 광도가 [eqn: L`]일 때, 절대 등급이 [eqn: 1.3`]인 별의 광도는 [eqn: kL`]이다. 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 10 ^{{11} over {10}}]	② [eqn: 10 ^{{6} over {5}}]	③ [eqn: 10 ^{{13} over {10}}]	④ [eqn: 10 ^{{7} over {5}} `]	⑤ [eqn: 10 ^{{3} over {2}}]

14. 함수 [eqn: y=3 ^{x} -a`]의 역함수의 그래프가 두 점 [eqn: LEFT ( 3`,``log _{`3} `b RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2b`,``log _{`3} `12 RIGHT ) `]를 지나도록 하는 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여
[eqn: a+b`]의 값은? [4점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

15. [eqn: 0 LEQx LEQ2`]에서 함수 [eqn: y=tan`pix`]의 그래프와
직선 [eqn: y=it- {10} over {3} x+n`]이 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

16. 함수 [eqn: y=log _{2} x`]의 그래프 위에 서로 다른 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`]가 있다. 선분 [eqn: rm AB`]의 중점이 [eqn: x`]축 위에 있고, 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1``:``2`]로 외분하는 점이 [eqn: y`]축 위에 있을 때, 선분 [eqn: rm AB`]의 길이는? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {root6} over {2}]	③ [eqn: root2]	④ [eqn: {sqrt {10}} over {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

17. 상수 [eqn: k`]([eqn: 0<k<1])에 대하여 [eqn: 0 LEQx<2 pi`]일 때,
방정식 [eqn: sin`x=k`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta`][eqn: LEFT ( alpha< beta RIGHT ) `]라 하자. [eqn: sin` {beta- alpha} over {2} = {5} over {7} `]일 때, [eqn: k`]의 값은? [4점]

① [eqn: {2 sqrt {6}} over {7}]	② [eqn: {sqrt {26}} over {7}]	③ [eqn: {2 sqrt {7}} over {7}]	④ [eqn: {sqrt {30}} over {7}]	⑤ [eqn: {4 sqrt {2}} over {7}]

18. 그림과 같이 [eqn: {bar{rm OA it}} = {bar{rm OB it}} =1`], [eqn: ANGLE rm AOB= theta`]인 이등변삼각형 [eqn: rm OAB`]가 있다. 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원이 선분 [eqn: rm OA`]와 만나는 점 중 [eqn: rmA`]가 아닌 점을 [eqn: rmP`], 선분 [eqn: rm OB`]와 만나는 점 중 [eqn: rm B`]가 아닌 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 선분 [eqn: rmAB`]의 중점을 [eqn: rm`M`]이라 할 때, 다음은 부채꼴 [eqn: rm`MPQ`]의 넓이 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]를 구하는 과정이다.
(단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}])

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm O]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm M]

[eqn: theta]

삼각형 [eqn: rm `OAM`]에서 [eqn: ANGLE rm `OMA`= {pi } over {2} `], [eqn: ANGLE rm `AOM`= {theta } over {2} `]이므로

[eqn: {bar{rm `MA it}} = {BOX{``````(가)`````}} ``]

이다. 한편, [eqn: ANGLE rm `OAM`= {pi } over {2} - {theta } over {2} `]이고 [eqn: {bar{rm `MA` it}} = {bar{rm MP` it}}]이므로

[eqn: ANGLE rm AMP= {BOX{``````(나)``````}} ``]

이다. 같은 방법으로

[eqn: ANGLE rm `OBM`= {pi } over {2} - {theta } over {2} `]이고 [eqn: {bar{rm `MB` it}} = {bar{rm MQ` it}}]이므로

[eqn: ANGLE rm BMQ`= {BOX{``````(나)``````}} ``]

이다. 따라서 부채꼴 [eqn: rm MPQ]의 넓이 [eqn: S(theta)`]는

[eqn: S(theta)= {1} over {2} TIMES LEFT ( ` {BOX{``````(가)``````}} ` RIGHT ) ^{2} TIMES ` {BOX{``````(다)``````}}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f( theta )], [eqn: g( theta )], [eqn: h( theta )]라 할 때, [eqn: {f LEFT ( {pi } over {3} RIGHT ) ` TIMES `g LEFT ( {pi } over {6} RIGHT )} over {h LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )} `]의 값은? [4점]

① [eqn: {5} over {12}]	② [eqn: {1} over {3} `]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {12}]

19. 그림과 같이 두 점 [eqn: rm A` LEFT ( -1`,``0 RIGHT ) `], [eqn: rm B` LEFT ( 1`,``0 RIGHT ) `]과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]이 있다. 원 위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: ANGLE rm PAB= theta `][eqn: LEFT ( 0<theta < { pi} over { 2} RIGHT )`]라 할 때,  반직선 [eqn: rm PB`] 위에 [eqn: {bar{rm PQ it}} =3`]인 점 [eqn: rm Q`]를 정한다. 점 [eqn: rm Q`]의 [eqn: x`]좌표가 최대가 될 때, [eqn: sin ^{2} `theta`]의 값은? [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rmA]

[eqn: rmP]

[eqn: rm Q]

[eqn: rmB]

[eqn: theta]

[eqn: rm 1]

[eqn: rm -1]

① [eqn: 7 over 16]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 9 over 16]	④ [eqn: 5 over 8]	⑤ [eqn: 11 over 16]

20. [eqn: 1`]보다 큰 실수 [eqn: a`]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=log _{`a} `x`], [eqn: y=log _{`a+2} `x`]가 직선 [eqn: y=2`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하자. 점 [eqn: rm A`]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log _{`a+2} `x`]와 만나는 점을 [eqn: rm C`], 점 [eqn: rm B`]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log _{`a} `x`]와 만나는 점을 [eqn: rm D`]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: a ^{2} `]이다. ㄴ. [eqn: {bar{rm AC it}} =1`]이면 [eqn: a=2`]이다. ㄷ. 삼각형 [eqn: rm ACB`]와 삼각형 [eqn: rm ABD`]의 넓이를 각각 [eqn: S _{`1} `], [eqn: S _{`2} `]라 할 때, [eqn: {S _{`2}} over {S _{`1}} =log _{`a} ` LEFT ( a+2 RIGHT ) `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 0<x< {n} over {12} pi`]일 때, 방정식

[eqn: sin ^{2} ` LEFT ( 4x RIGHT ) -1=0`]

의 실근의 개수를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) `]이라 하자. [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =33`]이 되도록 하는 모든 [eqn: n`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 295]	② [eqn: 297]	③ [eqn: 299]	④ [eqn: 301]	⑤ [eqn: 303]

단답형

22. [eqn: 2 ^{{1} over {2}} TIMES8 ^{{1} over {2}}`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 방정식 [eqn: log _{`2} ` LEFT ( x+5 RIGHT ) =4`]의 해를 구하시오. [3점]

24. [eqn: 2`cos ^{2} `theta-sin ^{2} `theta=1`]일 때, [eqn: 60`sin ^{2} `theta`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 함수 [eqn: y=k`sin` LEFT ( x+ {pi} over {2} RIGHT ) +10`]의 그래프가
점 [eqn: LEFT ( {pi} over {3} `,``14 RIGHT ) `]를 지날 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 다음 조건을 만족시키는 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: log _{`2} ` LEFT ( log _{`4} `a RIGHT ) =1`]

(나) [eqn: log _{`a} `5 TIMES log _{`5} `b = {3} over {2} `]

27. 그림과 같이 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-1} `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =4 ^{x-1} `]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`][eqn: LEFT ( k>2 RIGHT ) `]가 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하자. 점 [eqn: rm C `it LEFT ( 0`,``k RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: rm {bar{AC}} `:` {bar{CB}} `=1`:`5`]일 때, [eqn: k ^{3} `]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=k]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

28. 자연수 [eqn: k`]에 대하여 두 집합

[eqn: LEFT . LEFT . A= LEFT { sqrt {a} RIGHT | `a`는````자연수`,````1 LEQ a LEQ k` RIGHT } RIGHT .],

[eqn: LEFT . LEFT . B= LEFT { log _{sqrt {3}} `b RIGHT | `b`는````자연수`,````1 LEQ b LEQ k` RIGHT } ` RIGHT .]

가 있다. 집합 [eqn: C``]를

[eqn: LEFT . LEFT . C= LEFT { x RIGHT | `x IN A SMALLINTER B`,````x`는````자연수 RIGHT } ` RIGHT .]

라 할 때, [eqn: n(C`)=3`]이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: k`]의 개수를 구하시오. [4점]

29. 자연수 [eqn: k`]([eqn: k LEQ39])에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2`log _{` {1} over {2}} ` LEFT ( x-7+k RIGHT ) +2`]의 그래프와 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =64`]가 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x`]좌표를
[eqn: a`], [eqn: b`]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 [eqn: k`]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M`], [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M+m`]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: ab<0`]

(나) [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) f LEFT ( b RIGHT ) <0`]

30. 두 실수 [eqn: a`][eqn: LEFT ( 0<a<2 pi RIGHT ) `]와 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi `]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~sin`x- {1} over {2} ~~~&LEFT ( 0 LEQx<a RIGHT )#~k`sin`x- {1} over {2} ~~~&LEFT ( a LEQx LEQ2 pi RIGHT )}} `]

이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | `]의 최댓값은 [eqn: 1 over 2 `]이다.

(나) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 실근의 개수는 [eqn: 3`]이다.

방정식 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | = {1} over {4} `]의 모든 실근의 합을 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: 20` LEFT ( {a+S} over {pi} +k RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

＊ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.