[eqn: lim _{x` -> `0} {{e ^{4x} -1} over {3x}}]의 값은? [2점]

2019학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

수학 영역(가형)

수학 영역(가형)

12

① [eqn: 1]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {5} over {3}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

[eqn: cos` {13} over {6} pi]의 값은? [2점]

① [eqn: - {sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {7} =1]의 장축의 길이는? [2점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: y=log _{`2} `x+2]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( `a,``1 RIGHT )]을 지날 때, [eqn: a]의 값은?

[3점]

① [eqn: {1} over {16}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: 1over4]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x-2}]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( a+h RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {h}} = it - {1} over {4}]을
만족시키는 양수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: int _{1} ^{16} {{1} over {x sqrt {x}}} dx]의 값은? [3점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {5} over {4}]	④ [eqn: {6} over {5}]	⑤ [eqn: {7} over {6}]

매개변수 [eqn: t][eqn: LEFT ( t>0 RIGHT )]으로 나타내어진 함수

[eqn: x=t ^{2} +ln`t], [eqn: y=t ^{3} +6t]

에서 [eqn: t=1]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에
대하여 [eqn: f LEFT ( 5x-1 RIGHT ) =e ^{x ^{2} -1}]을 만족시킬 때, [eqn: f` prime LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {3} over {10}]	④ [eqn: {2} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

자연수 [eqn: 7]을 같은 자연수가 [eqn: 3]개 이상 포함되도록 분할하는
방법의 수는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a`cos`bx]의 그래프가
그림과 같다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =b`sinx+a]의 최댓값은? (단, [eqn: b>0])

[3점]

[eqn: rm`O]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm pi]

[eqn: rm 3]

[eqn: rm -3]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {2 ^{x}} over {3}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x} -2]의 그래프가
[eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고,
두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]가 만나는 점을 [eqn: rm C]라 할 때,
삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는? [3점]

[eqn: rm`O]

[eqn: x]

[eqn: rmA]

[eqn: y]

[eqn: rmB]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rm C]

① [eqn: {1} over {3} `log _{`2} `3]	② [eqn: {2} over {3} `log _{`2} `3]	③ [eqn: log _{`2} `3]
④ [eqn: {4} over {3} `log _{`2} `3]	⑤ [eqn: {5} over {3} `log _{`2} `3]

정수 전체의 집합의 두 부분집합

[eqn: A= LEFT { {}^{`} x`|`log _{`2} ` LEFT ( x+1 RIGHT ) LEQ k RIGHT }]
[eqn: B`= LEFT { {}_{`}^{{}^{`}} x`| RIGHT .][eqn: log _{`2} ` LEFT ( x-2 RIGHT ) -log _{` {1} over {2}} ` LEFT ( x+1 RIGHT ) GEQ 2][eqn: LEFT ._{{}_{`}}^{{}^{`}} RIGHT }]

에 대하여 [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) =5]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: xf LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{x} +a+ int _{0} ^{x} {tf`' LEFT ( t RIGHT ) dt}]

를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( a RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: {ln`2} over {6}]	② [eqn: {ln`2} over {3}]	③ [eqn: {ln`2} over {2}]	④ [eqn: {ln`3} over {3}]	⑤ [eqn: {ln`3} over {2}]

집합 [eqn: A="{"x`|`x]는 [eqn: 25] 이하의 자연수[eqn: "}"]의 부분집합 중
두 원소 [eqn: 1], [eqn: 2]를 모두 포함하고 원소의 개수가 홀수인 부분집합의
개수는? [4점]

① [eqn: 2 ^{18}]	② [eqn: 2 ^{19}]	③ [eqn: 2 ^{20}]	④ [eqn: 2 ^{21}]	⑤ [eqn: 2 ^{22}]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmA LEFT ( `-4,``0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( `4,``0 RIGHT )]과
쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {12} =1]이 있다. 쌍곡선 위에 있고 제[eqn: 1]사분면에 있는
점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: ANGLE rm APB= {pi } over {2}]일 때, 원점을 중심으로 하고
직선 [eqn: rmAP]에 접하는 원의 반지름의 길이는? [4점]

① [eqn: sqrt {7} -2]	② [eqn: sqrt {7} -1]	③ [eqn: 2 sqrt {2} -1]
④ [eqn: sqrt {7}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

두 곡선 [eqn: y= LEFT ( sin`x RIGHT ) `ln`x], [eqn: y= {cos`x} over {x}]와 두 직선 [eqn: x= pi over2], [eqn: x=pi]로
둘러싸인 부분의 넓이는? [4점]

① [eqn: {1} over {4} `ln` pi]	② [eqn: {1} over {2} `ln` pi]	③ [eqn: {3} over {4} `ln` pi]	④ [eqn: ln` pi]	⑤ [eqn: {5} over {4} `ln` pi]

[eqn: rm`O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: x= {pi } over {2}]

[eqn: x=pi]

[eqn: y= LEFT ( sin`x RIGHT ) `ln`x]

[eqn: y= {cos`x} over {x}]

다음은 비어 있는 세 주머니 [eqn: rmA], [eqn: rm B], [eqn: rmC]에 먼저 흰 공 [eqn: 6]개를
남김없이 나누어 넣은 후 검은 공 [eqn: 6]개를 남김없이 나누어 넣을 때,
빈 주머니가 생기지 않도록 나누어 넣는 경우의 수를 구하는
과정이다. (단, 같은 색의 공은 구별하지 않는다.)

빈 주머니가 생기지 않도록 나누어 넣는 경우의 수는
세 주머니 [eqn: rmA], [eqn: rm B], [eqn: rmC]에 먼저 흰 공 [eqn: 6]개를 남김없이 나누어 넣은 후
검은 공 [eqn: 6]개를 남김없이 나누어 넣을 때,
흰 공을 넣지 않은 주머니가 있으면 그 주머니에는
검은 공이 [eqn: 1]개 이상 들어가도록 나누어 넣는 경우의 수와 같다.

흰 공을 넣은 주머니의 개수를 [eqn: n]이라 하면

(ⅰ) [eqn: n=3]일 때
세 주머니 [eqn: rmA], [eqn: rm B], [eqn: rmC]에 흰 공을 각각 [eqn: 1]개 이상 나누어 넣은 후,
검은 공을 나누어 넣는 경우이므로
이 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rm H _{3} TIMES LEFT . {BOX{```````(가) _{`} ^{`} ```````}} RIGHT .]이다.

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때
세 주머니 [eqn: rmA], [eqn: rm B], [eqn: rmC] 중 [eqn: 2]개의 주머니에 흰 공을 각각
[eqn: 1]개 이상 나누어 넣은 후, 검은 공을 나누어 넣는 경우이므로
이 경우의 수는 [eqn: LEFT . {BOX{```````(나) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]이다.

(ⅲ) [eqn: n=1]일 때
세 주머니 [eqn: rmA], [eqn: rm B], [eqn: rmC] 중 [eqn: 1]개의 주머니에 흰 공을 넣은 후,
검은 공을 나누어 넣는 경우이므로
이 경우의 수는 [eqn: LEFT . {BOX{```````(다) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rm H _{3} TIMES LEFT . {BOX{```````(가) _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `+` LEFT . {BOX{```````(나) _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `+` LEFT . {BOX{```````(다) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때,
[eqn: p+q+r]의 값은? [4점]

① [eqn: 374]	② [eqn: 381]	③ [eqn: 388]	④ [eqn: 395]	⑤ [eqn: 402]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `0,`` {pi} over {2} RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin`x]의 그래프 위의
한 점 [eqn: rm P LEFT ( it `a,``sin`a RIGHT )][eqn: LEFT ( 0<a< {pi } over {2} RIGHT )]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하자.
곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: l]로 둘러싸인 부분의 넓이와
곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=a]로 둘러싸인 부분의 넓이가
같을 때, [eqn: cos`a]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB it}} it=1], [eqn: ANGLE rmB= {pi } over {2}]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서
선분 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: {bar{rm AD it}} = {bar{rm CD it}}]가 되도록 점 [eqn: rmD]를 잡는다. 점 [eqn: rmD]에서
선분 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E], 점 [eqn: rmD]를 지나고 직선 [eqn: rmAC]에
평행한 직선이 선분 [eqn: rm BC]와 만나는 점을 [eqn: rm F]라 하자.
[eqn: ANGLE rm BAC= theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmDEF]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]라 하자.
[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {` {S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}]) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm `D]

[eqn: theta]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm `E]

[eqn: rm `F]

① [eqn: {1} over {32}]	② [eqn: {1} over {16}]	③ [eqn: {3} over {32}]	④ [eqn: {1} over {8}]	⑤ [eqn: {5} over {32}]

좌표평면 위에 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9]와 직선 [eqn: y=4]가 있다.
[eqn: t!= it -3], [eqn: t!=3]인 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=4] 위의
점 [eqn: rm P LEFT ( it `t,``4 RIGHT )]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9]에 그은 두 접선의 기울기의 곱을
[eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) = it -1] ㄴ. 열린 구간 [eqn: LEFT ( `-3,``3 RIGHT )]에서 [eqn: f`'' LEFT ( t RIGHT ) <0]이다. ㄷ. 방정식 [eqn: 9f LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{x+2} -7]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n]에 대하여 열린 구간 [eqn: LEFT ( `3n-3,``3n RIGHT )]에서 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x-3n RIGHT ) sin`2x- LEFT ( 2x ^{2} -6nx+4n ^{2} -1 RIGHT ) cos`2x]

가 [eqn: x=alpha]에서 극대 또는 극소가 되는 모든 [eqn: alpha]의 값의 합을
[eqn: a _{n}]이라 하자.
[eqn: cos`a _{m} =0]이 되도록 하는 자연수 [eqn: m]의 최솟값을 [eqn: l]이라 할 때,
[eqn: sum _{k=1} ^{l +2} a _{k}]의 값은? [4점]

① [eqn: 7+ {45} over {2} pi]	② [eqn: 8+ {45} over {2} pi]	③ [eqn: 7+ {47} over {2} pi]
④ [eqn: 8+ {47} over {2} pi]	⑤ [eqn: 7+ {49} over {2} pi]

단 답 형

[eqn: {}_{2} SMALLPROD _{5}]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +4 sqrt {x}]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다.
이 도로망을 따라 [eqn: rm A] 지점에서 출발하여 [eqn: rm P] 지점을 지나
[eqn: rm B] 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수를 구하시오. [3점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm `P]

곡선 [eqn: y= {1} over {3} x ^{3} +2ln`x]의 변곡점에서의 접선의 기울기를
구하시오. [3점]

좌표평면에서 점 [eqn: rm P LEFT ( `-2,`` it k RIGHT )]와 초점이 [eqn: rm F]인 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]
위의 점 [eqn: rm Q]에 대하여 [eqn: rm {bar{PQ}} = {bar{rm QF}} =10]일 때, 양수 [eqn: k]의 값을
구하시오. [4점]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 있다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수이고 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) =5]일 때,
[eqn: int _{1} ^{5} {{40} over {g prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} dx}]의 값을 구하시오. [4점]

할아버지, 할머니, 아버지, 어머니, 아이로 구성된 [eqn: 5]명의 가족이
영화를 보려고 한다. 영화관의 좌석은 그림과 같이
[eqn: rmA], [eqn: rmB] 두 개의 열로 이루어져 있고, 각 열에는 [eqn: 5]개의 좌석이 있다.
[eqn: rm A]열에는 할아버지와 할머니가 이웃하여 앉고,
[eqn: rm B]열에는 아버지, 어머니, 아이가 앉되
아이는 아버지 또는 어머니와 이웃하고, 아이의 바로 앞에 있는
좌석은 비어 있도록 한다.
이때, [eqn: 5]명이 모두 좌석에 앉는 경우의 수를 구하시오.
(단, [eqn: 2]명이 같은 열의 바로 옆에 앉을 때만 이웃한 것으로 본다.
또한 한 좌석에는 한 명만 앉고, 다른 관람객은 없다.) [4점]

[eqn: rm A]열 □

[eqn: rm B]열 □

그림과 같이 중심이 점 [eqn: rm A LEFT ( ` it 1,``0 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: C _{1}]과
중심이 점 [eqn: rm B LEFT ( `-2,``0 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: C _{2}]가 있다.
[eqn: y]축 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( `0,`` it a RIGHT )][eqn: LEFT ( a> sqrt {2} RIGHT )]에서 원 [eqn: C _{1}]에 그은 접선 중 [eqn: y]축이
아닌 직선이 원 [eqn: C _{1}]과 접하는 점을 [eqn: rmQ], 원 [eqn: C _{2}]에 그은 접선 중 [eqn: y]축이
아닌 직선이 원 [eqn: C _{2}]와 접하는 점을 [eqn: rmR]라 하고 [eqn: angle`rmRPQ=theta]라 하자.
[eqn: tan`theta= {4} over {3}]일 때, [eqn: LEFT ( a-3 RIGHT ) ^{2}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm`O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm `P]

[eqn: rm `Q]

[eqn: rm `R]

[eqn: C_1]

[eqn: theta]

[eqn: C _{2}]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx]([eqn: a], [eqn: b]는 정수)에 대하여
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =e ^{f` LEFT ( x RIGHT )} -f LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: x= alpha], [eqn: x=it-1], [eqn: x=beta] [eqn: LEFT ( alpha < it -1< beta RIGHT )]에서만 극값을 갖는다.
함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( alpha RIGHT ) RIGHT |]가 미분가능하지 않은 점의 개수가 [eqn: 2]일 때,
[eqn: LEFT { f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT } ^{2}]의 최댓값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.