수학 영역(가형)

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수학 영역(가형)

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2019학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가 형)

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수학 영역(가 형)

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1

4

수학 영역(가 형)

제 2 교시

5지선다형

1. 두 다항식

12

[eqn: A=x ^{2} +y ^{2}], [eqn: B=2x ^{2} +xy-y ^{2}]

에 대하여 [eqn: A+B`]를 간단히 하면? [2점]

① [eqn: x ^{2} -xy]	② [eqn: x ^{2} +xy]	③ [eqn: 3x ^{2} -2y ^{2}]
④ [eqn: 3x ^{2} -xy]	⑤ [eqn: 3x ^{2} +xy]

2. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 3,```5 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: A{cup}B`]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

3. [eqn: i` LEFT ( 2-i RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [2점]

① [eqn: -1-2i]	② [eqn: -1+2i]	③ [eqn: 1-2i]
④ [eqn: 1+2i]	⑤ [eqn: 2+i]

4. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA LEFT ( it-2,```0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it a,```b RIGHT ) `]에 대하여 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 10,```0 RIGHT ) `]이다. [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

5. 그림은 함수 [eqn: f:`X`` -> ``X`]를 나타낸 것이다.

[eqn: f(6)+f` ^{-1} (8)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

6. [eqn: LEFT ( a+b-c RIGHT ) ^{2} =25], [eqn: ab-bc-ca= it -2`]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} `]의 값은?

[3점]

① [eqn: 27]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 31]	④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 35]

7. 이차부등식 [eqn: x ^{2} -8x+a LEQ 0`]의 해가 [eqn: b LEQ x LEQ 6`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

8. [eqn: 9`]개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 0], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1`]을 [eqn: 0`]끼리는 어느 것도 이웃하지 않도록 일렬로 나열하여 만들 수 있는 아홉 자리의 자연수의 개수는? [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

9. 함수 [eqn: f(x)= sqrt {2x-4} +3`]에 대하여 [eqn: f` ^{-1} (5)`]의 값은? [3점]

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

10. 그림과 같이 한 줄에 [eqn: 3`]개씩 모두 [eqn: 6`]개의 좌석이 있는 케이블카가 있다. 두 학생 [eqn: rmA], [eqn: rm B``]를 포함한 [eqn: 5`]명의 학생이 이 케이블카에 탑승하여 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]는 같은 줄의 좌석에 앉고 나머지
세 명은 맞은편 줄의 좌석에 앉는 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 48]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 60]	④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 72]

11. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식

[eqn: x ^{2} -2kx+2k+15ge0`]

이 성립하도록 하는 정수 [eqn: k`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

12. 두 정육면체의 모든 모서리 길이의 합은 [eqn: 60`]이고, 겉넓이의 합은 [eqn: 126`]이다. 이 두 정육면체의 부피의 합은? [3점]

① [eqn: 95]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 105]	④ [eqn: 110]	⑤ [eqn: 115]

13. 연립방정식

[eqn: {cases{``x ^{2} -2xy-3y ^{2} =0 _{{}_{`}}#``x ^{2} +y ^{2} =20 ^{{}^{`}}}}]

의 해를 [eqn: x=a], [eqn: y=b`]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])

[3점]

① [eqn: 2 sqrt {6}]	② [eqn: 2 sqrt {7}]	③ [eqn: 4 sqrt {2}]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 2 sqrt {10}]

14. 그림과 같이 [eqn: 9`]개의 칸으로 나누어진 정사각형의 각 칸에 [eqn: 1`]부터 [eqn: 9`]까지의 자연수가 적혀 있다.

[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]
[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]
[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]

이 [eqn: 9`]개의 숫자 중 다음 조건을 만족시키도록 [eqn: 2`]개의 숫자를 선택하려고 한다.

(가) 선택한 [eqn: 2`]개의 숫자는 서로 다른 가로줄에 있다.

(나) 선택한 [eqn: 2`]개의 숫자는 서로 다른 세로줄에 있다.

예를 들어, 숫자 [eqn: 1]과 [eqn: 5`]를 선택하는 것은 조건을 만족시키지만, 숫자 [eqn: 3`]과 [eqn: 9`]를 선택하는 것은 조건을 만족시키지 않는다.
조건을 만족시키도록 [eqn: 2`]개의 숫자를 선택하는 경우의 수는?

[4점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

15. 함수 [eqn: y=5-2 sqrt {1-x} `]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-x+k`]가 제[eqn: `1`]사분면에서 만나도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

16. 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -left(k+1right)x+2k`] ([eqn: k`]는 [eqn: 2`]가 아닌 실수)에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)= LEFT ( `f CIRC f RIGHT ) (x)`]

라 하자. 다음은 다항식 [eqn: g(x)-x`]는 다항식 [eqn: f(x)-x`]로 나누어떨어짐을 보이는 과정이다.

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: f(x)-x][eqn: = LEFT ( x-k RIGHT ) LEFT ( ` {BOX{~~ ^{`} (가) ^{`} ~~}} ` RIGHT )]

이다. 함수 [eqn: g(x)][eqn: = LEFT ( `f CIRC f RIGHT ) (x)][eqn: =f(`f(x))`]에 대하여

[eqn: g(k)][eqn: =f(`f(k))][eqn: = {BOX{~~ ^{`} (나) ^{`} ~~}} `]

[eqn: g(2)][eqn: =f(`f(2))][eqn: = {BOX{~~ ^{`} (다) ^{`} ~~}} `]

다항식 [eqn: g(x)-x`]는 [eqn: x-k`]와 [eqn: {BOX{~~ ^{`} (가) ^{`} ~~}} `](을/를) 인수로 가지므로 다항식 [eqn: g(x)-x`]는 다항식 [eqn: f(x)-x`]로 나누어떨어진다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: p(x)], [eqn: q(k)`]라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: a`]라 할 때, [eqn: p(5)+q(4)+a`]의 값은? [4점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

17. 그림과 같이 좌표평면 위의 점 [eqn: rmA LEFT ( 8,```6 RIGHT ) `]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하고, 선분 [eqn: rmOH] 위의 점 [eqn: rmB`]에서 선분 [eqn: rmOA`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI`]라 하자. [eqn: bar{rmBH}=bar{rmBI}`]일 때, 직선 [eqn: rmAB`]의 방정식은 [eqn: y=mx+n`]이다. [eqn: m+n`]의 값은? (단, [eqn: rmO`]는 원점이고, [eqn: m], [eqn: n`]은 상수이다.) [4점]

① [eqn: -10]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -8]	④ [eqn: -7]	⑤ [eqn: -6]

18. 은행 [eqn: rmA] 또는 은행 [eqn: rmB`]를 이용하는 고객 중 남자 [eqn: 35`]명과 여자 [eqn: 30`]명을 대상으로 두 은행 [eqn: rmA], [eqn: rm B`]의 이용 실태를 조사한 결과가 다음과 같다.

(가) 은행 [eqn: rm A`]를 이용하는 고객의 수와 은행 [eqn: rm B`]를 이용하는 고객의 수의 합은 [eqn: 82`]이다.

(나) 두 은행 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 중 한 은행만 이용하는 남자 고객의 수와 두 은행 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 중 한 은행만 이용하는 여자 고객의 수는 같다.

이 고객 중 은행 [eqn: rm A`]와 은행 [eqn: rm B`]를 모두 이용하는 여자 고객의 수는? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

19. 그림과 같이 두 대각선 [eqn: rmAC], [eqn: rmBD`]의 교점이 원점이고 네 변이 각각 [eqn: x`]축 또는 [eqn: y`]축에 평행한 직사각형 [eqn: rm ABCD`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {bar{rm AD it}} > {bar{rm AB it}} >2]

(나) 직사각형 [eqn: rm ABCD`]를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동한 직사각형의 내부와 직사각형 [eqn: rm ABCD] 내부와의 공통부분의 넓이는 [eqn: 18`]이다.

(다) 직사각형 [eqn: rm ABCD`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 직사각형의 내부와 직사각형 [eqn: rm ABCD] 내부와의 공통부분의 넓이는 [eqn: 16`]이다.

직사각형 [eqn: rmABCD`]의 넓이는? (단, 점 [eqn: rmA`]는 제[eqn: `2`]사분면 위의 점이다.) [4점]

① [eqn: 32]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 40]	④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 48]

20. [eqn: x`]에 대한 삼차식

[eqn: f(x)=x ^{3} + LEFT ( 2a-1 RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( b ^{2} -2a RIGHT ) x-b ^{2}]

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f(x)`]는 [eqn: x-1`]을 인수로 갖는다. ㄴ. [eqn: a<b<0`]인 어떤 두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=0`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다. ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)=0`]이 서로 다른 세 실근을 갖고 세 근의 합이 [eqn: 7`]이 되도록 하는 두 정수 [eqn: a], [eqn: b`]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT)`]의 개수는 [eqn: 5]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 두 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -2x-3], [eqn: g(x)=x ^{2} +2x+a`]가 있다. [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f(`g(x))=f(x)`]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2`]가 되도록 하는 정수 [eqn: a`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

단답형

22. [eqn: {}_{5} rmC _{1} + _{5} C _{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]가 다음과 같다.

[eqn: p:`k LEQ x LEQ k+2],

[eqn: q:`6<x<12]

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합을 구하시오. [3점]

24. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT } `]일 때 함수 [eqn: f:`X`` -> ``X] 중에서 집합 [eqn: X`]의 모든 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x+f(x)ge4`]를 만족시키는 함수 [eqn: f`]의 개수를 구하시오. [3점]

25. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 자연수 전체 집합의 부분집합 [eqn: A _{n} `]을 다음과 같이 정의하자.

[eqn: LEFT . A _{n} = LEFT {{}^{`} x ` RIGHT | `x` RIGHT .]는 [eqn: sqrt {n}] 이하의 홀수[eqn: LEFT . {}^{`}it RIGHT }]

[eqn: A _{n} SUBSET A _{25} `]를 만족시키는 [eqn: n`]의 최댓값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: sqrt {10 TIMES 13 TIMES 14 TIMES 17+36} `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 원 [eqn: C:`x ^{2} +y ^{2} -5x=0] 위의 점 [eqn: rmP`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {bar{rm OP it}} =3]

(나) 점 [eqn: rmP`]는 제[eqn: `1`]사분면 위의 점이다.

원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선의 기울기가 [eqn: {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO`]는 원점이고, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[4점]

28. 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 원 [eqn: C:` LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} =9`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m`]만큼 평행이동한 원을 [eqn: C _{1}], 원 [eqn: C _{1} `]을 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동한 원을 [eqn: C _{2} `]라 하자. 두 원 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2} `]와 직선 [eqn: l:`4x-3y=0`]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 원 [eqn: C _{1} `]은 직선 [eqn: l`]과 서로 다른 두 점에서 만난다.

(나) 원 [eqn: C _{2} `]는 직선 [eqn: l`]과 서로 다른 두 점에서 만난다.

[eqn: m+n`]의 최댓값을 구하시오. [4점]

29. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 다항식 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 다항식 [eqn: f(x)`]를 다항식 [eqn: g(x)`]로 나눈 몫과 나머지는
모두 [eqn: g(x)-2x ^{2} `]이다.

(나) 다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지는 [eqn: - {9} over {4} `]이다.

[eqn: f(6)`]의 값을 구하시오. [4점]

30. 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: f(x)`]와
[eqn: x<5`]에서 정의된 함수 [eqn: g(x)=1- {2} over {x-5} `]가 있다.
[eqn: 3`]보다 작은 실수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: t LEQ x LEQ t+2`]에서 함수 [eqn: LEFT ( `f CIRC g RIGHT ) (x)`]의 최솟값을 [eqn: h(t)`]라 할 때, [eqn: h(t)`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: h(t)= {cases{``f(`g(t+2)) _{`}&&LEFT ( t<1 RIGHT ) _{`} `#~~~~6 ^{`}&&LEFT ( 1 LEQ t<3 RIGHT ) ^{`}}}]

(나) [eqn: h(-1)=7`]

[eqn: f(5)`]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.