◦ 자신이 선택한 유형(‘A’형/‘B’형)의 문제지인지 확인하시오.

2012학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수학 영역

성명			수험 번호						2

B 형

수학 영역

B 형

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수학 영역

B 형

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◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: 2 ^{`-1} ` TIMES `36 ^{{1} over {2}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {3} `]	② [eqn: {1} over {2} `]	③ [eqn: 2`]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 4`]

12

2. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`-3`&`1`#````````2`&`4`}} `], [eqn: B= {pmatrix{`2`&`````````3`#`4`&``-1`}} `]에 대하여 행렬 [eqn: 2A+B`]는?

[2점]

① [eqn: {pmatrix{`-4`&`5`#````````8`&`7`}} `]	② [eqn: {pmatrix{`-1`&`5`#````````6`&`7`}} `]	③ [eqn: {pmatrix{`-4`&`4`#````````8`&`3`}} `]

④ [eqn: {pmatrix{`-1`&`4`#````````6`&`3`}} `]	⑤ [eqn: {pmatrix{`-2`&`5`#````````6`&`2`}} `]

3. 등차수열 [eqn: left{ a_n right} `]에 대하여 [eqn: a_2 = 6`], [eqn: a_4 = 8 `]일 때, [eqn: a_8]의 값은? [2점]

① [eqn: 12`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 16`]	④ [eqn: 18`]	⑤ [eqn: 20`]

4. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{-1`&`a`#```````a`&`1`}} `]에 대하여 [eqn: A ^{2} = {pmatrix{`4`&`0`#`0`&`4`}} `]일 때, [eqn: a ^{2} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6`]

5. [eqn: sum_k=1^n left(a_2k-1 + a_2k right) = n^2 `]일 때, [eqn: sum_k=1^10 a_k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 25`]	② [eqn: 30`]	③ [eqn: 35`]	④ [eqn: 40`]	⑤ [eqn: 45`]

6. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`3`&`a`#`1`&`4`}} `], [eqn: B= {pmatrix{`-3`&`````````5`#````````1`&``-2`}} `]가 [eqn: A+B ^{-1} =E`]를 만족시킬 때, 실수 [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: -3`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 5`]

7. 두 등차수열 [eqn: left{ a_n right}`], [eqn: left{ b_n right}`]이

[eqn: left{ a _{n} right} : 4`], [eqn: 7`], [eqn: 10`], [eqn: 13`], [eqn: cdots`]

[eqn: left{ b _{n} right} : 100`], [eqn: 95`], [eqn: 90`], [eqn: CDOTS `]

일 때, 두 수열에서 공통으로 나타나는 수의 개수는? [3점]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 9`]	④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 13`]

8. 등식 [eqn: x ^{5} y ^{3} `=`5 ^{15} `]을 만족시키는 양의 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: m log _{5} x + 15 log _{5} y `]가 일정한 값을 가질 때, 실수 [eqn: m`]의 값은? [3점]

① [eqn: 3`]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 15`]	④ [eqn: 20`]	⑤ [eqn: 25`]

9. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`-2`&```3`#`-1`&```2`}} `]에 대하여 등식 [eqn: A ^{2012} ` {pmatrix{`p`#`q`}} = {pmatrix{`-2`#````````3`}} `]이 성립할 때, 두 실수 [eqn: p`], [eqn: q`]의 합 [eqn: p+q`]의 값은? [3점]

① [eqn: -5`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 5`]

10. 방정식 [eqn: 2 ^{log `x} x^{log`2} - ( 2^{log `x} + 5 x ^{log `2 } ) + 8= 0]의 두 근의 곱은?

[3점]

① [eqn: 10`]	② [eqn: 10^2 `]	③ [eqn: 10^3 `]	④ [eqn: 10^4 `]	⑤ [eqn: 10^5]

11. 첫째항이 [eqn: 1`]이고 공비가 양의 실수 [eqn: r`]인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}{`]에 대하여 [eqn: a_2 `], [eqn: a_3 `], [eqn: a_4 `]가 등식 [eqn: log_4 `` a_3 = log_{a_2} ``a_4]를 만족시킨다. [eqn: sum_k=1 ^10 a_k `]의 값은? (단, [eqn: r ne 1`]) [3점]

① [eqn: 1 over 2 (3^10 -1 )`]	② [eqn: 1 over 3 (2^20 -1 )`]	③ [eqn: 1 over 4 (5^10 -1 )`]

④ [eqn: 1over7 {(2^30 -1) }`]	⑤ [eqn: 1over8 {(3^20 -1) }`]

12. 두 함수 [eqn: f(x)=x-1`], [eqn: g(x)=3 ^{`|`x`|} `]에 대하여 합성함수 [eqn: y=(`g CIRC f`)(x)`]의 그래프의 개형은? [4점]

①		②
③		④
⑤

13. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x) `], [eqn: g(x)`]가 다음 세 조건을 만족한다.

(가) [eqn: f(x)`]의 값은 정수이다.

(나) [eqn: 0 le g(x) <1`]

(다) [eqn: 10^f(x)+g(x) = x`]

[eqn: a= f(1)+f(11)+ f(111)`]일 때, [eqn: g(a) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 0`]	② [eqn: log ``2`]	③ [eqn: log ``root5 `]	④ [eqn: log ``3`]	⑤ [eqn: 1 over2 `]

14. 모든 성분이 실수인 이차정사각행렬을 원소로 갖는 두 집합 [eqn: S`], [eqn: T``]가

[eqn: S```= LEFT { A`` | ````A ^{2} =O`` RIGHT }],

[eqn: T```= LEFT { A`` left |]어떤 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: LEFT. A ^{n} =O`` RIGHT }]

일 때, 다음은 [eqn: S=T``]임을 증명한 것이다. (단, [eqn: O`]는 영행렬이다.)

<증명>

[eqn: A= {pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}} `]를 [eqn: T``]의 원소라 하면 어떤 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: A ^{n} =O`] [eqn: CDOTS `](*)

이다.

(ⅰ) [eqn: n LEQ 2`]일 때, [eqn: A IN S`]이다.

(ⅱ) [eqn: n GEQ 3`]일 때, [eqn: A`]가 역행렬을 갖는다고 하자.

(*)의 양변에 [eqn: LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{n-1} `]을 곱하면 [eqn: A=O`]

이것은 모순이므로 이다.

(가)

이때, [eqn: A` ^{2}][eqn: = {pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}} ` {pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}} `]

[eqn: = {pmatrix{`a ^{2} +bc&```ab+bd``#`ac+cd&```bc+d ^{`2} `}} `]

[eqn: =(a+d) {pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}} `]

[eqn: =(a+d)A`]

그러므로 [eqn: A ^{n} =`][eqn: `A`]이고 [eqn: A ^{n} =O`]에서 [eqn: a+d=0`]이다.

(나)

따라서 [eqn: A ^{2} =O`]이므로 [eqn: A IN S`]이다.

∴ [eqn: T SUBSET S`]

한편, [eqn: S`]의 원소는 모두 [eqn: T``]의 원소이므로 [eqn: S SUBSET T``]이다.

∴ [eqn: S```=T``]

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?

[3점]

① [eqn: ad-bc=0`], [eqn: (b+c) ^{n-1} `]

② [eqn: ad-bc != 0`], [eqn: (b+c) ^{n-1} `]

③ [eqn: ad-bc=0`], [eqn: (a+d) ^{n-1} `]

④ [eqn: ad-bc != 0`], [eqn: (a+d) ^{n-1} `]

⑤ [eqn: ad-bc=0`], [eqn: (b+c) ^{n} `]

15. 수열 [eqn: left{ S_n right} `]에서 [eqn: S_n = p n^2 + 2n `]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: p=0`]일 때 수열 [eqn: left {S_n right }`]은 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열이다. ㄴ. [eqn: p =1`]일 때 수열 [eqn: left {S_n right }`]의 계차수열은 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열이다. ㄷ. [eqn: p=2`]일 때 [eqn: S_n `]은 첫째항이 [eqn: 4`], 공차가 [eqn: 4`]인 등차수열의 제[eqn: 1`]항부터 제[eqn: n`]항까지의 합이다. ([eqn: n = 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: cdots])

① ㄱ	② ㄱ,ㄴ	③ ㄴ,ㄷ

④ ㄱ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

16. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=log _{5} x`], [eqn: y=log _{5} x over 5]가 직선 [eqn: x=1`]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하자. 또, 두 곡선이 직선 [eqn: x=5`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm C`], [eqn: rm D`]라 하자. 곡선 [eqn: y=log _{5} x`]와 두 선분 [eqn: rm AD`], [eqn: rm DC`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S`], 곡선 [eqn: y=log _{5} x over 5]와 세 선분 [eqn: rmBA`], [eqn: rmAC`], [eqn: rmCD`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: T`]라 할 때 [eqn: S+T`]의 값은? [4점]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 8`]

④ [eqn: 10`]	⑤ [eqn: 12 `]

17. 번호가 부여된 [eqn: 4`]개의 키 워드와 이 키 워드 중 일부를 포함하고 있는 [eqn: 4`]권의 책이 다음 표와 같다.

번호	키 워드		책번호	포함하고 있는 키 워드
[eqn: 1]	기초		[eqn: 1]	기초, 이론
[eqn: 2]	수학		[eqn: 2]	기초, 수학, 이론
[eqn: 3]	심화		[eqn: 3]	심화
[eqn: 4]	이론		[eqn: 4]	수학, 심화

행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (i`], [eqn: j)`]성분 [eqn: a _{ij} `]를

[eqn: a _{ij} = {cases{1``&`(`i`번~책이~j`번~키``워드를~포함한다.)#0&`(`i`번~책이~j`번~키``워드를~포함하지~않는다.)}} ``]

([eqn: i=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: j=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4`])

로 정의하자. 행렬 [eqn: A`]는? [3점]

① [eqn: LEFT ( ` {matrix{`1`&`0`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`&`1`#`0`&`0`&`1`&`0`#`0`&`1`&`1`&`0`}} ` RIGHT ) `]	② [eqn: LEFT ( ` {matrix{`0`&`1`&`1`&`0`#`0`&`0`&`1`&`0`#`1`&`1`&`0`&`1`#`1`&`0`&`0`&`1`}} ` RIGHT ) `]	③ [eqn: LEFT ( ` {matrix{`1`&`0`&`0`&`1`#`0`&`1`&`1`&`0`#`0`&`0`&`1`&`0`#`1`&`1`&`0`&`1`}} ` RIGHT ) `]

④ [eqn: LEFT ( ` {matrix{`0`&`0`&`1`&`1`#`1`&`0`&`1`&`0`#`1`&`0`&`0`&`0`#`0`&`1`&`1`&`1`}} ` RIGHT ) `]	⑤ [eqn: LEFT ( ` {matrix{`1`&`1`&`0`&`0`#`0`&`1`&`0`&`1`#`0`&`1`&`1`&`1`#`1`&`0`&`0`&`0`}} ` RIGHT ) `]

18. 두 함수 [eqn: f(x)=2^x `], [eqn: g(x)= {x} - LEFT [ ` {x}` RIGHT ]`]에 대하여 합성함수 [eqn: y=(`g` CIRC f)(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=`- 1 over n x +1 `]([eqn: n=1`],[eqn: 2`],[eqn: 3`],[eqn: cdots`])이 만나는 점의 개수를 [eqn: a _{`n}`]이라 하자.

[eqn: a _{1}+ a _{2} +a _{3}]의 값은? (단, [eqn: [``x``]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

① [eqn: 6 `]	② [eqn: 8`]	③ [eqn: 10`]	④ [eqn: 12`]	⑤ [eqn: 14`]

19. 광원으로부터 [eqn: d`]([eqn: m]) 떨어진 지점에서 사람이 느끼는 감각강도를 [eqn: P`]라 하면 등식

[eqn: P=k`log`{h`} over {`d` ^{2}}] ([eqn: k]와 [eqn: h`]는 상수)

가 성립한다고 한다. 광원으로부터 [eqn: rm 6`]([eqn: m]) 떨어진 지점에서 느끼는 감각강도를 [eqn: P_6 `], [eqn: rm 9`]([eqn: m]) 떨어진 지점에서 느끼는 감각강도를 [eqn: P_9 `]라 할 때, [eqn: P_6 - P_9 `]를 나타내는 것은? (단, [eqn: log2=0.30`], [eqn: log`3 = 0.48]로 계산한다.) [4점]

① [eqn: 0.18k`]	② [eqn: 0.27k`]	③ [eqn: 0.36k`]	④ [eqn: 0.45k`]	⑤ [eqn: 0.54k`]

20. 실수 [eqn: x`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)`]를

[eqn: f(x)=`](등식 [eqn: t ^{4} =x ^{2} -4`]를 만족시키는 서로 다른 실수 [eqn: t`]의 개수)

로 정의하자. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는? [4점]

①		②
③		④
⑤

21. 표는 국악에서 사용하는 한 옥타브의 [eqn: 12`]음계에 해당하는 율명에 차례로 번호를 붙인 것이다.

번호	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]
율명	황종	대려	태주	협종	고선	중려

번호	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]	[eqn: 11]	[eqn: 12]
율명	유빈	임종	이칙	남려	무역	응종

번호가 [eqn: n`]([eqn: n`=1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: CDOTS `], [eqn: 12`])인 율명의 진동수를 [eqn: f(n)`]이라 하면, 등식 [eqn: f(n)=C``․``2 ^{` {n-1} over {12}} `]이 성립한다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: C`]는 상수이고, 진동수의 단위는 ㎐이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: {f(4)} over {f(3)} =2 ^{{1} over {12}} `] ㄴ. ‘고선’의 진동수가 [eqn: a`]일 때, ‘무역’의 진동수는 [eqn: sqrt {2} `a`]이다. ㄷ. ‘대려’의 진동수가 [eqn: b]일 때, ‘협종’과 ‘중려’의 진동수의 곱은 [eqn: 2`b ^{`2} `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22. 등비수열 [eqn: left{ a_n right} `]에 대하여 [eqn: a_1 a_2 = 4`], [eqn: a_3 a_4 = 8`]일 때, [eqn: a_5 a_6 `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: a= root {3} of {2} `], [eqn: b= root {4} of {3} `]일 때, 등식 [eqn: 6=a ^{`x} ``b ^{`y} `]이 성립한다. 두 유리수 [eqn: x`], [eqn: y`]의 합 [eqn: x+y`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`-1&`````````a`#`````````0&``-1`}} `]에 대하여 행렬 [eqn: A ^{3} `]의 모든 성분의 합이 [eqn: 91`]일 때, 실수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

25. [eqn: 5`]개의 꼭짓점이 [eqn: RMA`], [eqn: RMB`], [eqn: RMC`], [eqn: RMD`], [eqn: rm E`]인 어느 그래프의 연결 관계를 다음과 같이 행렬로 나타내었다. 꼭짓점 [eqn: rmA`]에서 출발하여 모든 꼭짓점을 오직 한 번씩만 지나 꼭짓점 [eqn: rm A`]로 되돌아오는 경로의 수를 구하시오. [3점]

	[eqn: RMA```][eqn: RMB```][eqn: RMC```][eqn: rm D```][eqn: RME```]
[eqn: RMA```] [eqn: RMB```] [eqn: RMC```] [eqn: RMD```] [eqn: RME```]	[eqn: {pmatrix{``0``&``1``&``0``&``0``&``1``#``1``&``0``&``1``&``1``&``0``#``0``&``1``&``0``&``1``&``1``#``0``&``1``&``1``&``0``&``1``#``1``&``0``&``1``&``1``&``0``}} ``]

26. 그림과 같이 직선 [eqn: x=a`]([eqn: a>0`])가 두 함수 [eqn: y=3 ^{`x}], [eqn: y= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{`x}]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: RMB`]라 하자. 선분 [eqn: rm AB`]의 중점의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: sqrt {5} `]일 때, 선분 [eqn: rm AB`]의 길이를 [eqn: l`]이라 하자. [eqn: l ^{`2} `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 높이가 서로 같은 원판을 나무통 위에 올려 놓으려고 한다. 그림과 같이 원판을 [eqn: 1`]개 올려 놓았을 때의 전체 높이를 [eqn: h_1 `], [eqn: 2`]개 올려 놓았을 때의 전체 높이를 [eqn: h_2 `], [eqn: 3`]개 올려 놓았을 때의 전체 높이를 [eqn: h_3 `]이라 하자. 이와 같은 방법으로 [eqn: n`]개 올려 놓았을 때의 전체 높이를 [eqn: h_n `]이라 하자.

[eqn: h _{15} =6`]일 때, [eqn: h_5 + h_13 + h_17 + h_25 `]의 값을 구하시오. [4점]

28. 첫째항이 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: S_n = sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k} a _{k}`], [eqn: T_n = sum _{k=1} ^{n} {1} over {a _{k} a _{k+1}} `]

이다. [eqn: S_10 =25`], [eqn: 1 over T_5 =` {54} over {5}`]일 때, [eqn: a _{6} `]의 값을 구하시오. [4점]

29. 그림과 같이 정삼각형을 붙여서 만든 도형의 각 꼭짓점에 원을 그린 후 제[eqn: 1`]행과 제[eqn: 2`]행에 있는 원에 모두 [eqn: 1`]을 적고 제[eqn: n`]행([eqn: n = 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: cdots `])에 있는 [eqn: n`]개의 원에는 다음 규칙에 따라 수를 적는다.

(가) 행의 양 끝 원에는 각각 [eqn: 1`]을 적는다.

(나) 비어 있는 원에는 그 원 바로 위 정삼각형의 각 꼭짓점에 적혀 있는 세 수의 합을 적는다.

예를 들어, 제[eqn: 5`]행의 어두운 원의 [eqn: 13`]은 그 원 바로 위 정삼각형의 각 꼭짓점에 적혀 있는 세 수 [eqn: 3`], [eqn: 5`], [eqn: 5`]의 합 [eqn: 13`]을 적은 것이다. 이와 같은 방법으로 수를 적을 때, 제[eqn: 22`]행의 왼쪽에서 [eqn: 3`]번째 원에 적혀 있는 수를 구하시오. [4점]

30. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: {pmatrix{`5&``2`#`2&``5`}} {pmatrix{`x`#`y`}} =k {pmatrix{`x`#`y`}} `]가 해 [eqn: x= alpha `], [eqn: y= beta `] 를 갖는다고 하자. [eqn: alpha ` beta >0`]일 때의 [eqn: k`]의 값은 [eqn: p`]이고, [eqn: alpha ` beta <0`]일 때의 [eqn: k`]의 값은 [eqn: q`]이다. [eqn: 10`p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.) [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.