행렬 [eqn: A= {pmatrix{```````2&````-1`#-3&```````````1`}}]에 대하여 행렬 [eqn: B`]가 [eqn: A-2B```= {pmatrix{-3&````-1`#```````1&```````````0`}}]을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: B`]의 모든 성분의 합은? [2점]

2013학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(B형)

제 2 교시

성명			수험번호						3

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수학 영역(B형)

수학 영역(B형)

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: cos` theta = {3} over {5}]일 때, [eqn: sin`2theta]의 값은?(단, [eqn: 0< theta < {pi} over {2}]) [2점]

① [eqn: {16} over {25}]	② [eqn: {18} over {25}]	③ [eqn: {4} over {5}]

④ [eqn: {22} over {25}]	⑤ [eqn: {24} over {25}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=e ^{x} +x ^{2} -3x]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은? [2점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

12

일차변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬이 [eqn: {pmatrix{````````3&````1`#`-1&````2`}}]일 때,
두 행렬 [eqn: A= LEFT ( pile{``1``#``2``} RIGHT )], [eqn: B```= LEFT ( pile{-1`#```````1`} RIGHT )]에 대하여 [eqn: 2f LEFT ( A RIGHT ) +f LEFT ( B` RIGHT )]는? [3점]

① [eqn: LEFT ( pile{``6``#``7``} RIGHT )]	② [eqn: LEFT ( pile{``7``#``8``} RIGHT )]	③ [eqn: LEFT ( pile{``8``#``9``} RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( pile{`9`#`10`} RIGHT )]	⑤ [eqn: LEFT ( pile{`10`#`11`} RIGHT )]

열린 구간 [eqn: LEFT ( `0,``2 pi RIGHT )]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=e ^{x} LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT )]의 극댓값을 [eqn: M`], 극솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M`m]의 값은? [3점]

① [eqn: -e ^{2pi}]	② [eqn: -e ^{pi}]	③ [eqn: {1} over {e ^{3 pi }}]

④ [eqn: {1} over {e ^{2pi }}]	⑤ [eqn: {1} over {e ^{pi}}]

좌표평면에서 행렬 [eqn: {pmatrix{```````1&````a-3`#-2&`````4``}}]로 나타내어지는 일차변환에 의하여 직선 [eqn: y=x+1]이 직선 [eqn: y=`-2x]로 옮겨질 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 두 함수 [eqn: y=3 sqrt {x}], [eqn: y= sqrt {x}]의 그래프와
직선 [eqn: x=k]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 직선 [eqn: x=k]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= sqrt {x}]

[eqn: y=3 sqrt {x}]

[eqn: x=k]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm O]

[eqn: rm barBC], [eqn: rm barOC], [eqn: rm barAC]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?
(단, [eqn: k>0]이고, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 3 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 9]

삼각방정식

[eqn: 3`sin ^{2} `x+4`cos ^{2} ` {x} over {2} -4=0]

의 서로 다른 실근의 개수는?(단, [eqn: 0<x<4 pi]) [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x-2}]의 역함수의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동시키면 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 된다. 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 직선 [eqn: y=1]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, 선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: (`8,``1)]이다.
이때, 실수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: -8]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -4]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{` {e ^{x} -sin2x-a} over {3x}&~~ LEFT ( x != 0 RIGHT ) ^{{} ^{`}}#`````````````````````````b ^{{} ^{`}}&~~ LEFT ( x=`0 RIGHT ) ^{{} ^{`}}}}]

가 [eqn: x=0]에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

[3점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

맥동변광성은 팽창과 수축을 반복하여 광도가 바뀌는 별이다.

맥동변광성의 반지름의 길이가 [eqn: R_1][eqn: (rmkm)], 표면온도가 [eqn: T_1][eqn: (rmK)]일 때의 절대등급이 [eqn: M_1]이고, 이 맥동변광성이 팽창하거나 수축하여 반지름의 길이가 [eqn: R_2][eqn: (rmkm)], 표면온도가 [eqn: T_2][eqn: (rmK)]일 때의 절대등급을 [eqn: M_2]라고 하면 이들 사이에는 다음 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: M _{2} -M _{1} =5`log` {R _{1}} over {R _{2}} +10`log` {T _{1}} over {T _{2}}]

어느 맥동변광성의 반지름의 길이가 [eqn: 5.88 TIMES 10 ^{6}][eqn: (rmkm)], 표면온도가 [eqn: 5000][eqn: (rmK)]일 때의 절대등급이 [eqn: 0.7]이었고, 이 맥동변광성이 수축하여 반지름의 길이가 [eqn: R][eqn: (rmkm)], 표면온도가 [eqn: 7000][eqn: (rmK)]일 때의 절대등급이 [eqn: -0.3]이었다. 이때, [eqn: R]의 값은? [3점]

① [eqn: 3 TIMES 10 ^{6.2}]	② [eqn: 2.5 TIMES 10 ^{6.2}]	③ [eqn: 3 TIMES 10 ^{6.1}]

④ [eqn: 2 TIMES 10 ^{6.2}]	⑤ [eqn: 2.5 TIMES 10 ^{6.1}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때,

[eqn: {cases{`a _{1} =1 _{{} _{{} _{}}}&#`4S _{n+1} =3a _{n+1} +10a _{n`} ^{{} ^{{} ^{}}}&LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )}}]

이 성립한다.
다음은 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k+1} -5 sum _{k=1} ^{n} a _{k}]를 구하는 과정이다.

[eqn: 4S _{n+2} =3a _{n+2} +10a _{n+1}]에서

[eqn: a _{n+2} =]

(가)

[eqn: 7a _{n+1} +]

[eqn: timesa _{n}]

이다.

[eqn: a _{n+1} -5a _{n} =b _{n}]이라 하면,

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이다.

[eqn: b _{n} =]

(나)

[eqn: LEFT ( n=1,`2,`3,` CDOTS RIGHT )]

[eqn: therefore]

따라서

(다)

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k+1} -5 sum _{k=1} ^{n} a _{k} =]

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나), (다)에 알맞은 식을
각각 [eqn: f(n)], [eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: {2 TIMES p TIMES g LEFT ( 10 RIGHT )} over {5 TIMES f(3)}]의 값은? [3점]

① [eqn: -1027]	② [eqn: -1025]	③ [eqn: -1023]

④ [eqn: -1021]	⑤ [eqn: -1019]

[13~14] 함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) `= {1} over {x} `-2}]에 대하여 13번과 14번의 두 물음에
답하시오.

[eqn: int _{1} ^{e} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]의 값은? [3점]

① [eqn: 2-3e]	② [eqn: 1-2e]	③ [eqn: 3-2e]

④ [eqn: 1-e]	⑤ [eqn: 2-e]

집합 [eqn: A= LEFT { x`` LEFT | ``f LEFT ( x RIGHT ) `- {a+1} over {x-1} `=0,````x>0 RIGHT } RIGHT .]에 대하여
[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) `=1]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?(단, [eqn: n(A)]는 집합 [eqn: A]의 원소의 개수이다.) [4점]

① [eqn: -1-2 sqrt {2}]	② [eqn: 1-2 sqrt {2}]	③ [eqn: 2-2 sqrt {2}]

④ [eqn: 1+2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2+2 sqrt {2}]

열린 구간 [eqn: LEFT ( `-2,``2 RIGHT )]에서 정의된 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가
그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[4점]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

		보 기
ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `1+0} {` LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) `+f LEFT ( -x RIGHT ) RIGHT }} `=0] ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `0} {`f LEFT ( x RIGHT ) `sin` {1} over {x}} `=0] ㄷ. [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=sin` pi x]라 할 때, 함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]는 열린 구간 [eqn: LEFT ( `-2,``2 RIGHT )]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]이 있다.
두 선분 [eqn: rmB_1 C_1], [eqn: rmC_1 D_1]의 중점을 각각 [eqn: rmE_1], [eqn: rmF_1]이라 하고,
두 선분 [eqn: rmA_1 E_1]과 [eqn: rmA_1 C_1]이 선분 [eqn: rmB_1 F_1]과 만나는 두 점을
각각 [eqn: rmG_1], [eqn: rmB_2]라 하자. 이때, 세 삼각형 [eqn: rmA_1 G_1 B_2][eqn: rm], [eqn: rmB_1 E_1 G_1], [eqn: rmC_1 F_1 B_2]의 넓이의 합을 [eqn: S_1]이라 하자.
점 [eqn: rmB_2]를 지나고 선분 [eqn: rmA_1 B_2]에 수직인 직선과 선분 [eqn: rmC_1 D_1]이 만나는 점을 [eqn: rmC_2]라 하자. 점 [eqn: rmC _{2}]를 지나고 선분 [eqn: rmB _{2} C _{2}]에 수직인 직선과 선분 [eqn: rmA _{1} D _{1}]이 만나는 점을 [eqn: rmD _{2}]라 하고, 점 [eqn: rmD _{2}]에서 선분 [eqn: rmA _{1} B _{2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmA _{2}]라 하자. 정사각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]에서 두 선분 [eqn: rmB_2 C_2], [eqn: rmC_2 D_2]의 중점을 각각 [eqn: rmE_2], [eqn: rmF_2]라 하고, 두 선분 [eqn: rmA_2 E_2]와 [eqn: rmA_2 C_2]가 선분 [eqn: rmB_2 F_2]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmG_2], [eqn: rmB_3]이라 하자. 이때, 세 삼각형
[eqn: rmA_2 G_2 B_3][eqn: rm], [eqn: rmB_2 E_2 G_2], [eqn: rmC_2 F_2 B_3]의 넓이의 합을 [eqn: S_2]라 하자.
점 [eqn: rm B _{3}]을 지나고 선분 [eqn: rm A _{2} B _{3}]에 수직인 직선과 선분 [eqn: rm C _{2} D _{2}]가 만나는 점을 [eqn: rm C _{3}]이라 하자. 점 [eqn: rmC _{3}]을 지나고 선분 [eqn: rmB _{3} C _{3}]에 수직인 직선과 선분 [eqn: rmA _{2} D _{2}]가 만나는 점을 [eqn: rmD _{3}]이라 하고, 점 [eqn: rmD _{3}]에서 선분 [eqn: rmA _{2} B _{3}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmA _{3}]이라 하자. 정사각형 [eqn: rmA_3 B_3 C_3 D_3]에서 두 선분 [eqn: rmB_3 C_3], [eqn: rmC_3 D_3]의 중점을 각각 [eqn: rmE_3], [eqn: rmF_3]이라 하고, 두 선분 [eqn: rmA_3 E_3]과 [eqn: rmA_3 C_3]이 선분 [eqn: rmB_3 F_3]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmG_3], [eqn: rmB_4]라 하자. 이때, 세 삼각형 [eqn: rmA_3 G_3 B_4][eqn: rm], [eqn: rmB_3 E_3 G_3], [eqn: rmC_3 F_3 B_4]의 넓이의 합을 [eqn: S_3]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 세 삼각형 [eqn: rmA_{itn} G_{itn} B_{itn+1}][eqn: rm], [eqn: rmB_{itn} E_{itn} G_{itn}], [eqn: rmC_{itn} F_{itn} B_{itn+1}]의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF }S_n]의 값은?

[4점]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rmC_1]

[eqn: rmD_1]

[eqn: rmA_1]

[eqn: rmB_2]

[eqn: rmC_2]

[eqn: rmD_2]

[eqn: rmA_2]

[eqn: rmB_3]

[eqn: rmC_3]

[eqn: rmD_3]

[eqn: rmA_3]

[eqn: rmE_1]

[eqn: rmF_1]

[eqn: rmG_1]

[eqn: rmE_2]

[eqn: rmF_2]

[eqn: rmG_2]

[eqn: rmG_3]

[eqn: rmF_3]

[eqn: rmB_4]

[eqn: rm E _{3}]

[eqn: 2]

① [eqn: {41} over {35}]	② [eqn: {44} over {35}]	③ [eqn: {46} over {35}]

④ [eqn: {48} over {35}]	⑤ [eqn: {51} over {35}]

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B`]가
[eqn: B ^{`2} =B```-E], [eqn: A ^{2} +B```=E``]
를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		보 기
ㄱ. 행렬 [eqn: B`]가 역행렬을 갖는다. ㄴ. [eqn: AB```=BA] ㄷ. [eqn: A ^{12} =E]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `= LEFT | `x-1` RIGHT |]의 그래프가 두 점에서 만난다.

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: y]

[eqn: -1]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

방정식

[eqn: {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) ``- sqrt {g LEFT ( x RIGHT )} RIGHT } LEFT { `f LEFT ( x RIGHT ) `+g LEFT ( x RIGHT ) ^{`} RIGHT }} over {f LEFT ( x RIGHT ) `-g LEFT ( x RIGHT )} `=0]

의 실근의 개수는?(단, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) `=f LEFT ( 1 RIGHT ) `=0], [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `=1]) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림은 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의
일부이다.

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=2` LEFT | `x-1` RIGHT |] [eqn: LEFT ( 0 LEQ x LEQ 2 RIGHT )]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) `=f LEFT ( x RIGHT )]이다.

[eqn: rmO]

[eqn: rm 1]

[eqn: rm 2]

[eqn: x]

[eqn: rm 2]

[eqn: y]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `= int _{2k} ^{4k} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} `g LEFT ( k RIGHT )}]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

그림은 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{```````````1 _{`}&```` LEFT ( x LEQ 0 RIGHT ) _{`}#`-x+1 ^{`}&```` LEFT ( x``>`0 RIGHT ) ^{`}}}]의 그래프이다.

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `= int _{-1} ^{x} {e ^{t} `f LEFT ( t RIGHT ) `dt}]

라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) `=1- {1} over {e}] ㄴ. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값 [eqn: e`- {1} over {e}]을 갖는다. ㄷ. 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=0]의 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 두 정점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리가 [eqn: 3`` rm m]이고, 점 [eqn: rmQ]를 지나고 선분 [eqn: rmPQ]에 수직인 직선을 [eqn: l]이라 하자.
점 [eqn: rmA]가 점 [eqn: rm Q]에서 출발하여 직선 [eqn: l]을 따라 초속 [eqn: 1``rmm]의 일정한
속력으로 움직일 때, 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmB]는 [eqn: rm bar{AP} `+` bar{PB} `=20`` LEFT ( rm m RIGHT )]을 만족시키며 점 [eqn: rm Q]쪽으로 움직이고 있다. [eqn: rm bar{AQ} `=4`` LEFT ( m RIGHT )]가 되는
순간, 선분 [eqn: rm BQ]의 길이[eqn: LEFT ( rmm RIGHT )]의 시간(초)에 대한 변화율은? [4점]

[eqn: rmP]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: l]

[eqn: 3``rmm]

① [eqn: - {sqrt {6}} over {3}]	② [eqn: - {sqrt {6}} over {4}]	③ [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: - {sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: - {sqrt {6}} over {6}]

단 답 형

로그부등식

[eqn: log _{`2} ` LEFT ( x-1 RIGHT ) `<2`log _{`4} ` LEFT ( 7-x RIGHT )]

의 해가 [eqn: alpha `＜`x`＜` beta] 일 때, [eqn: alpha ^{2} + beta ^{`2}]의 값을 구하시오. [3점]

공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: LEFT | `a _{3} -1` RIGHT | ``= LEFT | `a _{6} -3` RIGHT |]

을 만족시킨다. 이때, [eqn: a _{n} >92]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오. [3점]

[eqn: rmA]지점과 [eqn: rmB]지점 사이의 거리가 [eqn: 4``rmkm]인 직선도로가 있다.
[eqn: rm A]지점에서 출발하여 이 직선도로를 따라 [eqn: rm B]지점까지 갈 때는 시속 [eqn: v`` rm km]의 일정한 속력으로 이동하고, [eqn: rmB]지점에서 같은 도로를 따라 [eqn: rmA]지점으로 돌아올 때는 갈 때의 속력보다 시속 [eqn: rm 2``km] 더 빠르게
이동하려고 한다. [eqn: rm A]지점에서 [eqn: rm B]지점까지 갈 때 걸린 시간과
[eqn: rm B]지점에서 [eqn: rm A]지점으로 돌아올 때 걸린 시간의 차가 [eqn: 6]분 이상일 때, [eqn: v]의 최댓값을 구하시오.(단, 속력의 단위는 [eqn: rmkm/]시이다.) [3점]

그림과 같이 좌표평면에서 점 [eqn: rmP]가 원점 [eqn: rmO]를 출발하여 [eqn: x]축을
따라 양의 방향으로 이동할 때, 점 [eqn: rm `Q]는 점 [eqn: (`0,``30)]을 출발하여 [eqn: bar{rm PQ it} `=30]을 만족시키며 [eqn: y]축을 따라 음의 방향으로 이동한다.
[eqn: ANGLE RMOPQ= theta] ([eqn: 0`＜` theta `＜` {pi } over {2}])일 때, 삼각형 [eqn: RMOPQ]의 내접원의
반지름의 길이를 [eqn: r( theta )]라 하자.
이때, [eqn: lim _{theta ` -> `+0} {` {r LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: theta]

[eqn: 30]

[eqn: r LEFT ( theta RIGHT )]

좌표평면에서 두 일차변환 [eqn: f]와 [eqn: g]를 나타내는 행렬이 각각

[eqn: {pmatrix{`k&````0`#`0&````k`}}], [eqn: {pmatrix{`cos` theta &````-sin` theta `#`sin` theta &```````````cos` theta `}}]

일 때, 일차변환 [eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) ^{-1}]에 의하여 점 [eqn: LEFT ( `5,``5 sqrt {3} ` RIGHT )]이
점 [eqn: LEFT ( sqrt {3} ,``1 RIGHT )]로 옮겨진다. 이때, 두 상수 [eqn: k]와 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: {k pi } over {theta }]의 값을 구하시오.(단, [eqn: k>0]이고, [eqn: 0＜ theta ＜` {pi } over {2}]이다.) [4점]

그림과 같이 평면에서 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 원 위의 점 [eqn: rmA]를 점 [eqn: rmO]를 중심으로 시계 반대 방향으로 각 [eqn: theta] ([eqn: 0< theta < {pi } over {2}])
만큼 회전시킨 원 위의 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]를 점 [eqn: rmO]를 중심으로 시계 반대 방향으로 [eqn: pi over 2]만큼 회전시킨 원 위의 점을 [eqn: rmC]라 하자.
점 [eqn: rmA]에서의 접선이 점 [eqn: rmB]에서의 접선과 만나는 점을 [eqn: rmD], 점 [eqn: rmC]에서의 접선과 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자.
사각형 [eqn: rmOADB]의 넓이가 [eqn: 8]일 때, 사각형 [eqn: rmOAEC]의 넓이를
구하시오. [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: theta]

[eqn: 4]

곡선 [eqn: y``= {1} over {2} x ^{4} -2x ^{3} +8] ([eqn: x>0]) 위의 점에서 그은 접선 중에서 기울기가 최소인 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를
구하시오. [4점]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]가 있다.
[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 변 [eqn: rmBC]를 [eqn: n]등분한 각 분점을
점 [eqn: rmB]에서 가까운 것부터 차례로 [eqn: rm P _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}], [eqn: cdots], [eqn: rm P _{it n rm `-1}]이라 하고, 변 [eqn: rmCD]를 [eqn: n]등분한 각 분점을 점 [eqn: rmC]에서 가까운 것부터 차례로 [eqn: rm Q _{1}], [eqn: rm Q _{2}], [eqn: rm Q _{3}], [eqn: cdots], [eqn: rm Q _{it n rm -1}]이라 하자. [eqn: 1 LEQ k LEQ n-1]인 자연수 [eqn: k]에 대하여 사각형 [eqn: rm A P_{itk}Q_{itk}D]의 넓이를 [eqn: S _{k}]라 하자.
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}} `=alpha]일 때, [eqn: 150alpha]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm P _{2}]

[eqn: rm P _{3}]

[eqn: cdots]

[eqn: rm P _{itk}]

[eqn: cdots]

[eqn: rm P _{it n-1}]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: rm Q _{2}]

[eqn: rm Q _{3}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: rm Q _{itk}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: rm Q _{it n-1}]

[eqn: 1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=x+cos`x+ {pi} over {4}]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) `-k` RIGHT |] ([eqn: k]는 [eqn: 0<k<6 pi]인 상수)

라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합을 [eqn: {q} over {p} pi]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.