수학 영역(B형)

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수학 영역(B형)

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2013학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(B형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: 2 ^{{2} over {3}} ` TIMES root {3} of {54} `]의 값은? [2점]

12

① [eqn: 6]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

2. [eqn: log `_{3} `18-log `_{3} ` 4 ` + log_{`3} `6`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 [eqn: 1`]의 개수는? [2점]

① [eqn: 14`]	② [eqn: 16`]	③ [eqn: 18`]	④ [eqn: 20`]	⑤ [eqn: 22`]

4. 함수 [eqn: y=log `_{5} `x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동시키면 점 [eqn: (9,``3)`]을 지난다고 한다. 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

5. 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열 [eqn: left{`a_n`right}`]에 대하여 [eqn: {a_3}`{a_5} = {a_2} `{a_8}]이 성립할 때, [eqn: a_7`]의 값은? [3점]

① [eqn: 11`]	② [eqn: 13`]	③ [eqn: 15`]	④ [eqn: 17`]	⑤ [eqn: 19`]

6. 부등식 [eqn: log`(x-10)+log`(x-20)<2+log`6`]의 해가 [eqn: alpha <x< beta `]일 때, [eqn: alpha + beta `]의 값은? [3점]

① [eqn: 50]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 70]	④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 90]

7. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{~~3`&~~2`#`-2`&`-1`}}`]이 등식 [eqn: A ^{-1} =pA+qE``]를 만족시킬 때, 두 실수 [eqn: p`], [eqn: q`]의 곱 [eqn: p`q`]의 값은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: -5`]	② [eqn: -4`]	③ [eqn: -3`]	④ [eqn: -2`]	⑤ [eqn: -1]

8. [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: {pmatrix{``log` _{3} `a`&3#`1`&`log` _{3} ` {a} over {9} `}} `` {pmatrix{``x``#``y``}} `= {pmatrix{~~1`#`-1`}} `]이 해를 갖지 않도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 9`]	② [eqn: 1 over 3`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 27`]

9. 어떤 물질의 부패지수 [eqn: P`]와 일평균 습도 [eqn: H`]([eqn: %`]), 일평균 기온 [eqn: t`]([eqn: ℃`]) 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: P= H-65 over 14 times (1.05)^t`]

일평균 습도가 [eqn: 72%`], 일평균 기온이 [eqn: 10``℃`]인 날에 이 물질의 부패지수를 [eqn: P_1`]이라 하자. 일평균 습도가 [eqn: 79%`], 일평균 기온이 [eqn: x``℃`]인 날에 이 물질의 부패지수가 [eqn: 4P_1`]일 때, [eqn: x`]의 값은? (단, [eqn: 1.05^14 =2`]로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 22`]	② [eqn: 24`]	③ [eqn: 26`]	④ [eqn: 28`]	⑤ [eqn: 30`]

10. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: log``n`]의 지표를 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{200} (-1) ^{a _{k}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 16`]	② [eqn: 18`]	③ [eqn: 20`]	④ [eqn: 22`]	⑤ [eqn: 24`]

11. 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]에 대하여

[eqn: AB+A^2 =E``], [eqn: AB+BA =A^2 +B^2 `]

이 성립할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: AB``=BA`] ㄷ. [eqn: B ^{`-1} =pA+qB`]이면 [eqn: p+q=3]이다. (단, [eqn: p`], [eqn: q`]는 상수이다.)

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[12 ~ 13] 그림과 같이 곡선 [eqn: y= 2^x`]이 두 직선 [eqn: x= 1`], [eqn: x= 2`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하고, 곡선 [eqn: y = LEFT ( 1over2 RIGHT )^x`]이 두 직선 [eqn: x= 1`], [eqn: x= 2`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmC`], [eqn: rmD`]라 하자. [eqn: 12`]번과 [eqn: 13]번의 두 물음에 답하시오.

12. 네 점 [eqn: \A`], [eqn: \B`], [eqn: \C`], [eqn: \D`]의 [eqn: y`]좌표를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]라 하고 이를 성분으로 하는 행렬을 [eqn: P=][eqn: {pmatrix{`a`&``b`#`c`&``d`}} `]라 하자. 행렬 [eqn: P`]의 역행렬 [eqn: P ^{-1} `]의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 3over2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5over2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7over2]

13. 직선 [eqn: rmAB`]의 기울기를 [eqn: m_1`], 직선 [eqn: rmCD`]의 기울기를 [eqn: m_2`]라 하자. [eqn: m_2 = k` m_1`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: - 1over10]	② [eqn: - 1over8]	③ [eqn: - 1over6]	④ [eqn: - 1over4]	⑤ [eqn: - 1over2]

14. 그림은 곡선 [eqn: y=2` ^{x} `]과 직선 [eqn: y=x`]이다. 정수 [eqn: n`]에 대하여 중심이 곡선 [eqn: y=2`^x +n`] 위에 있고 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 모두 접하는 원의 개수를 [eqn: f(n)`]이라 하자. [eqn: f(-2)+f(0)+f(2)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

15. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=4^{x }`] 위의 점 [eqn: rm P`]와 점 [eqn: rm A( it root {3} of {2},``0 )`]이 있다.  자연수 [eqn: n`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm OAP`]의 넓이가 [eqn: 4^n`]이 되도록 하는 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a_n`]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{9} a _{k}`]의 값은? (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: 44`]	② [eqn: 46`]	③ [eqn: 48`]	④ [eqn: 50`]	⑤ [eqn: 52`]

16. 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열 [eqn: left{`a _{n}` right}`]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{15} `(S _{2k`} -`S _{2k-1} `)=750`]일 때, [eqn: a _{30}`]의 값은? [4점]

① [eqn: 92]	② [eqn: 93`]	③ [eqn: 94`]	④ [eqn: 95`]	⑤ [eqn: 96`]

17. 이차정사각행렬 [eqn: A`]가 등식 [eqn: A ^{2} -3A+2E=O`]를 만족시킨다. 다음은 [eqn: n`]이 [eqn: 2`] 이상의 자연수일 때, 행렬 [eqn: A ^{n} `]을 구하는 과정이다. (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.)

[eqn: A ^{2} -3A+2E=O`]에서

[eqn: A ^{2`}-A = 2(A-E)]

[eqn: A ^{3} -A ^{2} =A(A^2 -A)][eqn: =2A(A-E)][eqn: =2(A ^{2} -A)]

[eqn: =4(A-E)]

[eqn: A ^{4} -A ^{3} =A(A ^{3} -A ^{2} )][eqn: =4A(A-E)][eqn: =4(A ^{2} -A)]

[eqn: =8(A-E)]

[eqn: vdots`]

[eqn: A ^{n} -A ^{n-1} =box{```(가)```}`(A-E)]

위 등식들을 변끼리 더하면

[eqn: A^n - A = {box{```(나)```}}`(A-E)]

∴ [eqn: A^n = {box{```(나)```}}`(A-E)+A]

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)`], [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: f(9)+g(9)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 754`]	② [eqn: 758`]	③ [eqn: 762`]	④ [eqn: 766`]	⑤ [eqn: 770`]

18. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: (`2n,``0)`]에서 원 [eqn: (x+1)^2 +y^2 =1`]에 그은 접선을 [eqn: l`]이라 할 때, 수열 [eqn: left{ `a_{`n}` right}]을

[eqn: a_n = left(`]접선 [eqn: l`]의 기울기의 제곱[eqn: `right)]

이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{40} ``a _{`k} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 6 over 41`]	② [eqn: 7 over 41`]	③ [eqn: 8 over 41`]	④ [eqn: 9 over 41`]	⑤ [eqn: 10over41]

19. [eqn: log``4`N`]의 지표와 [eqn: log``N^{`2}]의 지표가 같도록 하는 모든 자연수 [eqn: N`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

20. 자연수로 이루어진 수열 [eqn: left{`a_n `right}`]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_1 `]의 최댓값은? [4점]

(가) [eqn: a_10 le 5120`]

(나) [eqn: n`]이 [eqn: 2`] 이상의 자연수일 때, [eqn: a _{n} =8+ sum _{k=1} ^{n-1} a _{k} `]이다.

① [eqn: 9`]	② [eqn: 10`]	③ [eqn: 11`]	④ [eqn: 12`]	⑤ [eqn: 13`]

21. 그림과 같이 [eqn: 4]개의 원기둥 모양의 물통 [eqn: rmA,~B,~C,~D`]는 밑면의 반지름의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 높이는 모두 같다.

각각의 물통에 매분 [eqn: pi] [eqn: \L]의 물을 넣어 가득 채울 때, 다음이 성립한다.

(가) 물통 [eqn: rm B`]를 채우는 데 걸리는 시간은 물통 [eqn: rmA`]를 채우는 데 걸리는 시간보다 [eqn: 8`]분이 더 걸린다.

(나) 물통 [eqn: rm C`]를 채우는 데 걸리는 시간은 물통 [eqn: rmB`]를 채우는 데 걸리는 시간보다 [eqn: 16]분이 더 걸린다.

물통 [eqn: rmD`]를 채우는 데 걸리는 시간은? (단, 물통의 두께는 고려하지 않는다.) [4점]

① [eqn: 57`]분	② [eqn: 55`]분	③ [eqn: 53`]분

④ [eqn: 51`]분	⑤ [eqn: 49`]분

단답형

22. [eqn: sum _{ k=5} ^{10 }(2k+1)]의 값을 구하시오. [3점]

23. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``2`&```-1`#``5`&```-2`}} `]에 대하여 행렬 [eqn: A^2013 `]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

24. 수열 [eqn: LEFT { ` a_n `RIGHT }`]이 [eqn: a_1 =2`]이고 [eqn: a _{n+1} -a _{n} =2n+3`]일 때, [eqn: a_5`]의 값을 구하시오. [3점]

25. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: pmatrix { ``5``&``2`` #``4`` & ``8``}`pmatrix { ``x`` #``y``} =k` pmatrix { ``x`` #``y``}]가 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 곱을 구하시오.

[3점]

26. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n}` RIGHT } `]을

[eqn: a _{n} =`]([eqn: 6^n`]의 양의 약수 중 짝수인 것의 개수)

라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}}]의 값을 구하시오. [4점]

27. 두 수 [eqn: 3`]과 [eqn: 40`] 사이에 [eqn: 10`]개의 수를 넣어 만든 등비수열

[eqn: 3`], [eqn: a_1`], [eqn: a_2`], …, [eqn: a_10`], [eqn: 40``]

이 있다. 등식

[eqn: 3+ a_1 + a_2 + cdots + a_ 10 + 40 = k` LEFT ( 1over3 + 1over a_1 + 1over a_2 + cdots + 1overa_10 + 1over40 RIGHT )`]

을 만족시키는 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여 두 집합 [eqn: A`], [eqn: B`]를

[eqn: A= LEFT { `(x,``y)`left|{ pile{ `#` } }`x^2 +y^2 le 1` RIGHT }`]

[eqn: B= LEFT { `(x,``y)` LEFT | pile{`#`} `|`x`| LEQ 1,``|`y`| LEQ 1,``xy LEQ 0` RIGHT } ` RIGHT .]

라 하자.

집합 [eqn: A cup B`]의 임의의 원소 [eqn: (x,``y)`]에 대하여 [eqn: LEFT ( 1over2 RIGHT ) ^{3x+4y}], [eqn: 2^{`3x-4y}]의 최댓값을 각각 [eqn: M_{`1}`], [eqn: M_{`2}`]라 할 때, [eqn: M_{`1}`+M_{`2}`]의 값을 구하시오.

[4점]

29. 네 자연수 [eqn: a_1`], [eqn: a_2`], [eqn: a_3`], [eqn: a _{4} `]가 [eqn: a_1 <a_2 <a_3 <a_4`]를 만족한다. [eqn: b_n = a_n+1 over a_n `]([eqn: n=1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`])이라 할 때, 세 자연수 [eqn: b _{1} `], [eqn: b _{2} `], [eqn: b _{3} `]은 이 순서대로 첫째항과 공차가 같은 등차수열을 이룬다. [eqn: a_4 =144`]일 때, [eqn: a _{1} +b _{1} `]의 값을 구하시오. [4점]

30. 그림은 색칠되어 있지 않은 빈칸에 자연수를 [eqn: 1`]부터 차례로  적어 넣는 과정을 나타낸 것이다. 예를 들어 제[eqn: `3`]행, 제[eqn: `5`]열의 빈칸에 적힌 수는 [eqn: 12`]이다. 제[eqn: `m`]행, 제[eqn: `n`]열의 빈칸에 적힌 수가 [eqn: 174`]일 때, [eqn: m+n`]의 값을 구하시오. [4점]

	제[eqn: `1`]열	제[eqn: `2`]열	제[eqn: `3`]열	제[eqn: `4`]열	제[eqn: `5`]열	제[eqn: `6`]열	제[eqn: `7`]열
제[eqn: `1`]행			[eqn: 5`]		[eqn: 14`]
제[eqn: `2`]행		[eqn: 3`]	[eqn: 4`]		[eqn: 13`]
제[eqn: `3`]행	[eqn: 1`]	[eqn: 2`]			[eqn: 12`]
제[eqn: `4`]행				[eqn: 10`]	[eqn: 11`]			⋯
제[eqn: `5`]행	[eqn: 6`]	[eqn: 7`]	[eqn: 8`]	[eqn: 9`]
제[eqn: `6`]행
제[eqn: `7`]행	[eqn: 15`]	[eqn: 16`]	⋯
				⋮				⋱

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.